Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E是正方形BCC₁B₁的中心，點F，G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點．設點E₁，G₁分別是點E，G在平面DCC₁D₁內的正投影．
（1）求以E為頂點，以四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內的正投影為底面邊界的棱錐的體積；
（2）證明：直線FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）依題作點E、G在平面DCC₁D₁內的正投影E₁、G₁，則E₁、G₁分別為CC₁、DD₁的中點，四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內的正投影為底面邊界即為四邊形DE₁FG₁，面積為SDE1FG1=SRt△E1FG1+SRt△DG1E1，由題意可證EE₁為該棱錐的高，代入體積公式可求；
（2）以D為坐標原點，DA、DC、DD₁所在直線分別作x軸，y軸，z軸；要證直線FG₁⊥平面FEE_1?FG₁⊥FE，FG₁⊥FE1?

FG1

•

FE

=0，

FG1

•

FE1

=0，利用空間向量的數量積可證；
（3）異面直線E₁G₁與EA所成角?

E1G1

與

EA

所成的角，利用公式cosθ=

E1G1 • EA

| EA || E1G1|

可求；

解答：解：（1）依題作點E、G在平面DCC₁D₁內的正投影E₁、G₁，
則E₁、G₁分別為CC₁、DD₁的中點，
連接EE₁、EG₁、ED、DE₁，
則所求為四棱錐E-DE₁FG₁的體積，
其底面DE₁FG₁面積為SDE1FG1=SRt△E1FG1+SRt△DG1E1=

1

2

×

2

×

2

+

1

2

×1×2=2，（3分）
又EE₁⊥面DE₁FG₁，EE₁=1，
∴VE-DE1FG1=

1

3

SDE1FG1•EE1=

2

3

．（6分）
（2）以D為坐標原點，DA、DC、DD₁所在直線分別作x軸，y軸，z軸，
得E₁（0，2，1）、G₁（0，0，1），又G（2，0，1），F（0，1，2），E（1，2，1），
則

FG1

=(0，-1，-1)，

FE

=(1，1，-1)，

FE1

=(0，1，-1)，
∴

FG1

•

FE

=0+(-1)+1=0，

FG1

•

FE1

=0+(-1)+1=0，
即FG₁⊥FE，FG₁⊥FE₁，
又FE₁∩FE=F，∴FG₁⊥平面FEE₁．（10分）
（3）

E1G1

=(0，-2，0)，

EA

=(1，-2，-1)，
則cos＜

E1G1

，

EA

＞=

E1G1 • EA

| E1G1 || EA |

=

2

6

，
設異面直線E₁G₁與EA所成角為θ，則sinθ=

1- 2 3

=

3

3

．（14分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理，利用空間向量的方法把求異面直線所成的角轉化為向量所成的角，錐體的體積的求解，關鍵是確定該棱錐的高及底面．