Question

（2012•寶山區一模）如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為2，E，F分別是BB₁，CD的中點．
（1）求三棱錐E-AA₁F的體積；
（2）求異面直線EF與AB所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（1）首先求出S_△AA1E=

1

2

S_{正方形A1B1BA}=2，然后通過證明CD∥平面A₁B₁BA和BC⊥平面A₁B₁BA，得到BC就是F到平面A₁B₁BA的距離，也是三棱錐E-AA₁F的高，最后可用錐體體積公式，求出三棱錐E-AA₁F的體積；
（2）連接EC，可得∠EFC（或其補角）即為異面直線EF與AB所成角．在Rt△EBC中，FC=

1

2

CD=1，EC=

5

，利用正切在直角三角形中的定義得tan∠EFC=

EC

FC

=

5

，即得異面直線EF與AB所成角的大小是arctan

5

．

解答：解：（1）∵正方形A₁B₁BA中，E為BB₁的中點
∴三角形AA₁E的面積S_△AA1E=

1

2

S_{正方形A1B1BA}=

1

2

×2²=2
又∵CD∥AB，CD?平面A₁B₁BA，AB?平面A₁B₁BA，
∴CD∥平面A₁B₁BA，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，BC⊥平面A₁B₁BA，
∴BC即為直線CD到平面A₁B₁BA的距離，即F到平面A₁B₁BA的距離為2，
∴三棱錐E-AA₁F的體積為V=

1

3

×S_△AA1E×2=

4

3

…（6分）
（2）連接EC，因為AB∥CD，所以∠EFC（或其補角）即為異面直線EF與AB所成角，…（9分）
∵CF⊥平面C₁B₁CB，EC?平面C₁B₁CB，
∴CF⊥CE
在Rt△EBC中，EC=

BC2+EB2

=

5

，
∵Rt△EBC中，FC=

1

2

CD=1，…（10分）
∴tan∠EFC=

EC

FC

=

5

，可得∠EFC=arctan

5

…（13分）
即異面直線EF與AB所成角的大小是arctan

5

．…（14分）

點評：本題在正方體中求三棱錐的體積并求異面直線所成的角，著重考查了空間直線與平面的位置關系和異面直線所成角的求法等知識，屬于基礎題．