題目列表(包括答案和解析)
函數
的定義域是R，對任意的兩個不同的實數
則下列結論正確的是 .（填上你認為正確的所有結論編號）
①函數在R上具有反函數； ②函數在R上是單調函數；
③函數在R上不是偶函數； ④函數在R上不是周期函數.
設函數
的定義域、值域均為
的反函數為
，且對任意的
，均有
，定義數列
（1）求證：
（2）設
求證
（3）是否存在常數A、B同時滿足：
,
如果存在，求出A、B的值，如果不存在，說明理由。
已知函數
的定義域為R，它的反函數為
，如果
與
互為反函數，且
，則
的值為（
）
A、
B、0
C、
D、
已知函數
的定義域為
。
（1）求函數
的值域；
（2）求函數的反函數。（12分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1～
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11. ； 12 . ； 13. 31；
14. ； 15. ； 16. - ，0 .
三、解答題（本大題共6小題，共76分）
17.（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）當a＝2時，A＝ ， …………………………2分
B＝ …………………………4分
∴ A B＝ …………………………6分
（Ⅱ）∵(a2＋1)－a＝(a－ )2＋ >0，即a2＋1>a
∴B={x|a<x<a2+1} ……………………7分
①當
②當
由B A得： 2≤a≤3 …………………10分
③當
由B A得 －1≤a≤－ …………………12分
綜上，a的范圍為：[－1,－ ]∪[2,3] …………………13分
18．（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）由 ………4分
∵
∴ 的值域為[－1，2] ……………………7分
（Ⅱ）∵
∴
∴ ………………10分
∴ ………………13分
19. （本題滿分13分）
解：（Ⅰ） ， ， ……………………2分
設 與 在公共點 處的切線相同
由題意 ，
即 ……………………4分
由 得： ，或 （舍去）
即有 ……………………6分
（Ⅱ）設 ，……………………7分
則 ……………………9分
x 時 <0，x >0
∴ 在 為減函數，在 為增函數， ……………………11分
于是函數 在 上的最小值是:F(a)=f(a)－g(a)=0 ……………………12分
故當 時，有 ，
所以，當 時， ……………………13分
20. （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率
………………5分
（Ⅱ） …………………6分
…………10分
ξ的分布列為：
ξ 10 8 6 4
P
…………13分
21．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵ ， ∴ …………………………1分
由y= 解得： …………………………2分
∴ ………………………3分
（Ⅱ）由題意得： …………………………4分
∴
∴{ }是以 =1為首項，以4為公差的等差數列. …………………………6分
∴ ，∴ . ………………………7分
（Ⅲ）∴ ………8分
則
∴
∴ ，∴ {bn}是一單調遞減數列. ………………………10分
∴ ，要使 ，則 ，∴
又kN* ，∴k8 ，∴kmin=8
即存在最小的正整數k=8，使得 ……………………12分
22.（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得： ……1分
即16＝
＝ ＝
所以 ，
即 ……………………………………………4分
（當動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結論）
所以動點P的軌跡為以A,B為焦點，實軸長為 的雙曲線
所以，軌跡G的方程為 …………………………………………6分
（Ⅱ）假設存在定點C(m,0),使 為常數.
①當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為
…………………………………………7分
由題意知，
設 ，則 ， …………………8分
于是
∴
＝ ………………9分
＝
要是使得 為常數，當且僅當 ，此時 ………………11分
②當直線l與x軸垂直時， ,當 時 .
故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數. …………………………12分
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