題目列表(包括答案和解析)
函數
是定義在
上的奇函數，且
。
（1）求實數a，b，并確定函數
的解析式；
（2）判斷在（-1，1）上的單調性，并用定義證明你的結論；
（3）寫出的單調減區間，并判斷有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值。（本小問不需要說明理由）
【解析】本試題主要考查了函數的解析式和奇偶性和單調性的綜合運用。第一問中，利用函數是定義在上的奇函數，且。
解得
，
（2）中，利用單調性的定義，作差變形判定可得單調遞增函數。
（3）中，由2知，單調減區間為
，并由此得到當，x=-1時，
，當x=1時，
解：（1）
是奇函數，
。
即
，
，………………2分
，又，
，，
（2）任取
，且
，
，………………6分
，
，
，
，
，
在（-1，1）上是增函數。…………………………………………8分
（3）單調減區間為…………………………………………10分
當，x=-1時，，當x=1時，。
已知函數
．（
）
（1）若
在區間
上單調遞增，求實數
的取值范圍；
（2）若在區間
上，函數的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區間上單調遞增，則
在區間上恒成立，然后分離參數法得到
，進而得到范圍；第二問中，在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于
在區間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區間上單調遞增，
則在區間上恒成立． …………3分
即，而當
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區間
上是增函數，并且在該區間上有
，不合題意；
當
，即
時，同理可知，在區間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區間上恒有
，從而在區間上是減函數；
要使在此區間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當
時，函數的圖象恒在直線下方．
已知
，（其中
）
⑴求
及
；
⑵試比較
與
的大小，并說明理由．
【解析】第一問中取
，則
；
…………1分
對等式兩邊求導，得
取
，則
得到結論
第二問中，要比較與的大小，即比較：
與
的大小，歸納猜想可得結論當
時，
；
當
時，
；
當
時，
；
猜想：當
時，運用數學歸納法證明即可。
解：⑴取，則；
…………1分
對等式兩邊求導，得
，
取，則。 …………4分
⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，
當時，；
當時，；
當時，；
…………6分
猜想：當時，，下面用數學歸納法證明：
由上述過程可知，
時結論成立，
假設當
時結論成立，即
，
當
時,
而
∴
即時結論也成立，
∴當時，成立。
…………11分
綜上得，當時，
；
當時，
；
當
時，
已知函數
，
(Ⅰ)求函數
的單調遞減區間；
(Ⅱ)令函數
（
）,求函數
的最大值的表達式
；
【解析】第一問中利用令
，
,
∴
，
第二問中，=
=
=
令
，
，則
借助于二次函數分類討論得到最值。
(Ⅰ)解：令，,
∴，
∴的單調遞減區間為：
…………………4分
(Ⅱ)解：=
=
=
令， ，則……………………4分
對稱軸
① 當
即
時，
=
……………1分
② 當
即
時，
=
……………1分
③ 當
即
時，
……………1分
綜上：
已知函數
的最小值為0，其中
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若對任意的
有
≤
成立，求實數
的最小值；
（Ⅲ）證明
（
）.
【解析】(1)解：
的定義域為
由
，得
當x變化時，
，的變化情況如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
極小值 |
|
因此，在
處取得最小值，故由題意
，所以
（2）解：當
時，取
，有
，故時不合題意.當
時，令
，即
令
，得
①當
時，
，
在
上恒成立。因此
在
上單調遞減.從而對于任意的
，總有
，即
在上恒成立，故符合題意.
②當
時，
，對于
，
，故在
上單調遞增.因此當取時，
，即
不成立.
故不合題意.
綜上，k的最小值為
.
（3）證明：當n=1時，不等式左邊=
=右邊，所以不等式成立.
當
時，
在（2）中取
，得
，
從而
所以有
綜上，
，
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