已知函數．
（I）求函數F（x）的單調區間；
（II）若以函數y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率恒成立，求實數a的最小值；
（III）是否存在實數m，使得函數的圖象與函數y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

已知函數，x其中a>0.

（I）求函數的單調區間；

（II）若函數在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（III）當a=1時，設函數在區間上的最大值為M（t），最小值為m（t）,記g(t)=M(t)-m(t),求函數g(t)在區間上的最小值。