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已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：
①f（x）在其定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在f（x）的定義域內存在區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]．
（Ⅰ）判斷函數y=-x³是否屬于集合M？并說明理由．若是，請找出區間[a，b]；
（Ⅱ）若函數y=

x-1

+t∈M，求實數t的取值范圍．

已知函數y=x+

a

x

有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞）上是增函數．
（Ⅰ）如果函數y=x+

2b

x

（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函數y=x²+

c

x2

（常數c＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（Ⅲ）對函數y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數F（x）=（x²+

1

x

）ⁿ+（

1

x2

+x）ⁿ（n是正整數）在區間[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：在定義域內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數f(x)=

1

x

是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數f(x)=lg

a

x2+1

∈M，求a的取值范圍；
（3）設函數y=2^x圖象與函數y=-x的圖象有交點，證明：函數f（x）=2^x+x²∈M．