Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：在定義域內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數f(x)=

1

x

是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數f(x)=lg

a

x2+1

∈M，求a的取值范圍；
（3）設函數y=2^x圖象與函數y=-x的圖象有交點，證明：函數f（x）=2^x+x²∈M．

Answer 1

分析：（1）集合M中元素的性質，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函數解析式列出方程，進行求解，若無解則此函數不是M的元素，若有解則此函數是M的元素；
（2）根據f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和對數的運算，求出關于a的方程，再根據方程有解的條件求出a的取值范圍，當二次項的系數含有參數時，考慮是否為零的情況；
（3）利用f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和f（x）=2^x+x²∈M，整理出關于x₀的式子，利用y=2^x圖象與函數y=-x的圖象有交點，即對應方程有根，與求出的式子進行比較和證明．

解答：解：（1）若f（x）=

1

x

∈M，在定義域內存在x₀，則

1

x0+1

=

1

x0

+1?x02+x0+1=0，
∵方程x₀²+x₀+1=0無解，∴f（x）=

1

x

∉M；（5分）
（2）由題意得，f（x）=lg

a

x2+1

∈M，
∴lg

a

(x+1)2+1

=lg

a

x2+1

+lg

a

2

，(a-2)x2+2ax+2（a-1）=0，
當a=2時，x=-

1

2

；
當a≠2時，由△≥0，得a²-6a+4≤0，a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
綜上，所求的a∈[3-

5

，3+

5

]；（10分）
（3）∵函數f（x）=2^x+x²∈M，
∴f(x0+1)-f(x0)-f(1)=2x0+1+(x0+1)2-2x0-x02-3
=2x0+2(x0-1)=2[2x0-1+(x0-1)]，
又∵函數y=2^x圖象與函數y=-x的圖象有交點，設交點的橫坐標為a，
則2a+a=0?2x0-1+(x0-1)=0，其中x₀=a+1
∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），即f（x）=2^x+x²∈M．（16分）

點評：本題的考點是元素與集合的關系，此題的集合中的元素是集合，主要利用了元素滿足的恒等式進行求解，根據對數和指數的元素性質進行化簡，考查了邏輯思維能力和分析、解決問題的能力．