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設，證明：
（Ⅰ）當x＞1時，f（x）＜（ x-1）；
（Ⅱ）當1＜x＜3時，．

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設，證明：
（Ⅰ）當x＞1時，f（x）＜（ x-1）；
（Ⅱ）當1＜x＜3時，．

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設，證明：
（Ⅰ）當x＞1時，f（x）＜（ x-1）；
（Ⅱ）當1＜x＜3時，．

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（2012•大豐市一模）已知：如圖，M是線段BC的中點，BC=4，分別以MB、MC為邊在線段BC的同側作等邊△BAM、等邊△MCD，連接AD．
（1）求證：四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）將△MDC繞點M逆時針方向旋轉α（60°＜α＜120°），得到△MD′C′，MD′交AB于點E，MC′交AD于點F，連接EF．
①求證：EF∥D′C′；
②△AEF的周長是否存在最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值．

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一、 選擇題（本大題共6小題，每小題6分，滿分36分）

1．函數的圖像過點（-1，3），則函數的圖像關于軸對稱的圖形一定過點（    ）．

A (1,-3)       B (-1,3)    C (-3,-3)       D (-3,3)

答案：B.

2．把2008表示成兩個整數的平方差形式，則不同的表示方法有（    ）種．

A  4         B 6        C  8         D 16

答案：C.

解： 設，即．2008有8個正因數，分別為1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且與只能同為偶數，因此對應的方程組為

故共有8組不同的值：；．

3．若函數有最小值，則a的取值范圍是（     ）．

A      B     C      D

答案：C．

解：當時，是遞減函數，由于沒有最大值，所以沒有最小值；當時，有最小值等價于有大于0的最小值．這等價于，因此．

4．已知則的最小值是（     ）．

   A         B        C 2        D   1

答案：A.

解：記，則，，（當且僅當時取等號）．故選A．

5．已知，則的取值范圍是（     ）．

A     B     C     D 

答案：D．

解：設，易得，即．由于，所以，解得 ．

6．函數是上的單調遞增函數，當時，，且，則的值等于（  ）．

A  1       B  2          C  3          D  4

答案：B

解：（用排除法）令，則得．

若，則，與矛盾；

若，則，與“在上單調遞增”矛盾；

若，則，也與“在上單調遞增”矛盾．

故選B．

二、填空題（本大題共6小題，每小題9分，滿分54分）

7．設集合，是S的子集，且滿足：，，那么滿足條件的子集的個數為            ．

答案：371．

解：當時，有種選擇方法， 有6種選擇方法，所以共有種選擇方法；當時，一旦取定，有種選擇方法，有種選擇方法，所以選擇的方法有  種．

綜上，滿足條件的子集共有371個．

8．已知數列滿足，則=___     .

答案：．

解：由已知得，且．

所以，即{}是首項、公差均為1的等差數列，所以=n，即有.

9．已知坐標平面上三點，是坐標平面上的點，且，則點的軌跡方程為                             ．

答案：.

解：如圖，作正三角形，由于也是正三角形，所以可證得　≌，所以．

又因為，所以點共線．

，所以P點在的外接圓上，又因為，所以所求的軌跡方程為

．

10． 在三棱錐中，，，，，，．則三棱錐體積的最大值為                 ．

答案：.

解：設，根據余弦定理有，

故，．由于棱錐的高不超過它的側棱長，所以.事實上，取，且時，可以驗證滿足已知條件，此時，棱錐的體積可以達到最大．

11． 從m個男生，n個女生（）中任選2個人當組長，假設事件A表示選出的2個人性別相同，事件B表示選出的2個人性別不同．如果A的概率和B的概率相等，則（m，n）的可能值為                    ．

答案:（10，6）.

解：，由于，所以，整理得．即是完全平方數，且，因此

  ，，解得 （不合條件），.

所以．

12．是平面上不共線三點，向量，，設P為線段AB垂直平分線上任意一點，向量．若，，則的值是                      ____              ____．

答案:8．

解：如圖,是線段AB的垂直平分線，，

，，

．

三、解答題（本大題共5小題，每題的解答均要求有推理過程，13小題10分,17小題14分,其余每小題12分，滿分60分）

13．是兩個不相等的正數，且滿足，求所有可能的整數c,使得.

解：由得,所以,

由此得到.

又因為,故.………………………4分

又因為, 令    則.……………6分

當時，關于t單調遞增，所以，.

因此 可以取1，2，3. …………………………………………………………………10分

14．如圖，斜三棱柱的所有棱長均為，側面底面，且.

（1） 求異面直線與間的距離；

（2） 求側面與底面所成二面角的度數．

解：（1）如圖，取中點D，連.

  .

,

∴.

由.……………4分

∥ ∥平面.

所以異面直線與間的距離等于.……………6分

（2）如圖，

………………………………..……8分

.……………………12分

15．設向量為直角坐標平面內x軸，y軸正方向上的單位向量．若向量，