Question

設，證明：
（Ⅰ）當x＞1時，f（x）＜（ x-1）；
（Ⅱ）當1＜x＜3時，．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證法一，記g（x）=lnx+-1-（x-1），可得到g′（x）=+-＜0，從而g（x）為減函數，又g（1）=0，當x＞1時，g（x）＜g（1），問題解決；
證法二，利用均值不等式，可證得，當x＞1時，＜+．①，令k（x）=lnx-x+1，同理可證k（x）為減函數，于是有lnx＜x-1②，由①②可證得結論；
（Ⅱ）記h（x）=f（x）-，可求得h′（x）=-＜＜0（1＜x＜3），從而h（x）在（1，3）內是遞減函數，又由h（1）=0，得h（x）＜0，從而證得結論；
解答：證明：（Ⅰ）（證法一）：
記g（x）=lnx+-1-（x-1），則當x＞1時，g′（x）=+-＜0，
又g（1）=0，有g（x）＜0，即f（x）＜（ x-1）；…4′
（證法二）由均值不等式，當x＞1時，2＜x+1，故＜+．①
令k（x）=lnx-x+1，則k（1）=0，k′（x）=-1＜0，故k（x）＜0，即lnx＜x-1②
由①②得當x＞1時，f（x）＜（ x-1）；
（Ⅱ）記h（x）=f（x）-，由（Ⅰ）得，
h′（x）=+-
=-
＜-
=，
令g（x）=（x+5）³-216x，則當1＜x＜3時，g′（x）=3（x+5）²-216＜0，
∴g（x）在（1，3）內是遞減函數，又由g（1）=0，得g（x）＜0，
∴h′（x）＜0，…10′
因此，h（x）在（1，3）內是遞減函數，又由h（1）=0，得h（x）＜0，
于是，當1＜x＜3時，f（x）＜…12′
點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，著重考查構造函數的思想，考查分析、轉化與綜合計算與應用解決問題的能力，屬于難題．