題目列表(包括答案和解析)
對于函數y＝f(x)，定義：若存在非零常數M、T，使函數f(x)對定義域內的任意實數x，都滿足f(x＋T)－f(x)＝M，則稱函數y＝f(x)是準周期函數，常數T稱為函數y＝f(x)的一個準周期．如：函數f(x)＝2x＋sinx是以T＝2π為一個準周期且M＝4π的準周期函數．
(1)試判斷2π是否是函數f(x)＝sinx的準周期，說明理由；
(2)證明函數f(x)＝x＋(－1)x(x∈Z)是準周期函數，并求出它的一個準周期和相應的M的值；
(3)請你給出一個準周期函數(不同于題設和(2)中函數)，指出它的一個準周期和一些性質，并畫出它的大致圖像
對于函數f(x)，定義：若存在非零常數M，T，使函數f(x)對定義域內的任意x，都滿足f(x＋T)－f(x)＝M，則稱函數y＝f(x)是準周期函數，非零常數T稱為函數y＝f(x)的一個準周期．如函數f(x)＝2x＋sinx是以T＝2π為一個準周期且M＝4π的準周期函數．下列命題：
①2π是函數f(x)＝sinx的一個準周期；
②f(x)＝x＋(－1)x(x∈z)是以T＝2為一個準周期且M＝2的準周期函數；
③函數f(x)＝kx＋b＋Asin(wx＋φ)(k≠0，w＞0)是準周期函數；
④如果f(x)是一個一次函數與一個周期函數的和的形式，則f(x)一定是準周期函數；
⑤如果f(x＋1)＝－f(x)則函數h(x)＝x＋f(x)是以T＝2為一個準周期且M＝4的準周期函數；其中的真命題是________．
一、選擇題
CCCBB BBDAB CA
二、填空題
13、
14、2 15、
16、③④
三、解答題
17．解：
建議評分標準：每個三角函數“1”分。（下面的評分標準也僅供參考）
18．解：
=
=
--（2分）
而
=
----------------------------------------------------------（2分）
且
-----（2分） 原式=
-------------（2分）
19．解：（1）由已知得
，所以
即三角形為等腰三角形。--------------------------------------------------------------------------------------------（3分）
（2）兩式平方相加得
，所以
。------（3分）
若
，則
，所以
，而
這與
矛盾，所以
---------------------------------------（2分）
20．解：化簡得
--------------------------------------------------（2分）
（1）最小正周期為
；--------------------------------------------------------------（2分）
（2）單調遞減區間為
-------------------------------（2分）
（3）對稱軸方程為
-------------------------------------------（1分）
對稱中心為
------------------------------------------------------（1分）
21．對方案Ⅰ：連接OC，設
，則
，
而
當
，即點C為弧的中點時，矩形面積為最大，等于
。
對方案Ⅱ：取弧EF的中點P，連接OP，交CD于M，交AB于N，設
如圖所示。
則
，
，
所以當
，即點C為弧EF的四等分點時，矩形面積為最大，等于
。
，所以選擇方案Ⅰ。
22．解：（1）不是休閑函數，證明略
（2）由題意得，
有解，顯然
不是解，所以存在非零常數T，使
，
于是有
，所以
是休閑函數。
（3）顯然
時成立；
當
時，由題義，
，由值域考慮，只有
，
當
時，
成立，則
；
當
時，
成立，則
，綜合的
的取值為
。
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