Question

對于函數y=f（x），定義：若存在非零常數M、T，使函數f（x）對定義域內的任意實數x，都滿足f（x+T）-f（x）=M，則稱函數y=f（x）是準周期函數，常數T稱為函數y=f（x）的一個準周期．如函數f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是以T=2為一個準周期且M=2的準周期函數．
（1）試判斷2π是否是函數f（x）=sinx的準周期，說明理由；
（2）證明函數f（x）=2x+sinx是準周期函數，并求出它的一個準周期和相應的M的值；
（3）請你給出一個準周期函數（不同于題設和（2）中函數），指出它的一個準周期和一些性質，并畫出它的大致圖象．

Answer 1

分析：（1）根據已知中準周期函數的定義，根據f（x）=sinx，結合正弦函數的周期性，我們可得f（x+2π）-f（x）=0恒成立，不滿足準周期函數的定義，進而得到結論；
（2）令T=2π，結合函數f（x）=2x+sinx，我們易得f（x+2π）-f（x）=4π恒成立，結合已知中準周期函數的定義，即可得到函數f（x）=2x+sinx是準周期函數，進而求出它的一個準周期和相應的M的值；
（3）結合（2）中函數的特點，我們可得y=kx+b（k≠0），y=（kx+b）+Asin（ωx+φ），y=（kx+b）+Acos（ωx+φ），…，或其它一次函數（正比例函數）與周期函數的線性組合，均為準周期函數．

解答：解：（1）∵f（x）=sinx，
∴f（x+2π）-f（x）=sin（x+2π）-sinx=sinx-sinx=0，
∴2π不是函數f（x）=sinx的準周期．
證明：（2）∵f（x+2π）-f（x）=[2（x+2π）+sin（x+2π）]-（2x+sinx）=2x+4π+sinx-2x-sinx=4π（非零常數），
∴函數f（x）=sinx是準周期函數，T=2π是它的一個準周期，相應的M=4π．
解：（3）①寫出一個不同于題設和（2）中函數，
如y=3x+sinx，y=2x+（-1）^x，y=2x+3sinx，y=[x]等 得（1分）y=kx+b（k≠0），y=（kx+b）+Asin（ωx+φ），y=（kx+b）+Acos（ωx+φ），…，或其它一次函數（正比例函數）與周期函數的線性組合的具體形式，得（3分）
②指出所寫出函數的一個準周期，得（2分）
③指出它的一些性質，如定義域、值域、奇偶性、單調性、最值、…，
（寫出一條得（1分），兩條以上得（2分），可以不證明）
④畫出其大致圖象．    得（3分）
部分參考圖象：

點評：本題考查的知識點是周期函數，其中正確理解已知中的新定義--準周期函數，熟練掌握三角函數的圖象和性質，是解答本題的關鍵．