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(本小題滿分12分)
古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現用a_n表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
(1)   寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
(2)   記，求和（）；
（其中表示所有的積的和）
(3)   證明：．

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一、選擇題(本大題12小題，每小題5分，共60分)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

D

A

B

C

C

B

C

A

D

A

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.4949；      14.[]            15.②④；             16.x<0或x>2

三、解答題(本大題共6小題共74分)

17.解(1)設，由，有x+y=-1                       ①……………1分

  與的夾角為，有，

  ∴，則x²+y²=1                                                         ②……………2分

  由①②解得，(-1，0)或(0，-1)       ……………4分

  (2)由2B=A+C知B=                        ……………5分

  由垂直知(0，-1)，則

                                ……………6分

  ∴

  =1+                   ……………8分

  ∵0<A<

  ∴-1≤cos(2A+)<

  即                                                               ………………10分

  故                                                           ………………12分

18.解：(1)過點A作AF⊥CB交CB延長線于點F，連結EF，則AF，則AF⊥平面BCC₁B₁，∠AEF為所求直線AE與閏面BCC₁B₁所成的角.                   …………………2分

  在Rt△AEF中,AF=∠AEF=

  故直線AE與平面BCC₁B₁所成的角為arctan             …………………6分

  (2)以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則

    A(0，-)，E(0，)，D₁(-1，0，2)

                                          …………………8分

   設平面AED1的一個法向量則

   取z=2，得=(3，-1，2)

   ∴點O到平面AED1的呀離為d=                …………………12分

19.解(1)由(an+1+an+2+an+3)-(a_n+a_n+1+a_n+2)=1，

   ∴a₁?a₄,a₇…,a_3n-2是首項為1，公差為1的等差數列，

   ∴P_n=                                                …………………4分

   由

   ∴b₂,b₅,b₈, …b_3n-1是以1為首項，公比為-1的等比數列

   ∴Q_n=                                 …………………8分

   (2)對于P_n≤100Q_n

   當n為偶數時，不等式顯然不成立；

   當n為奇數時，                                           …………………12分

20.解(1)逐個計算，得

   P(ξ=-16)=C；                                    …………………1分

   P(ξ=8)=C；

   P(ξ=24)=C；

   P(ξ=32)=C

  故該儲蓄所每天余額ξ的 分布列為：

                                                                                            ……………………6分

 (2)該一天余額ξ的期望Eξ=(-16)×(萬元) …………9分

故儲蓄所每天備用現金至少為14×2=28(萬元)                         ……………………12分

  答：為保證儲戶取款，儲芳所每天備用現金少28萬元。

21.解：(1)有f′(x)|_x=1=1,故直線的斜率為1，切點為(1，f(1)),即(1，0)

  ∴直線l的方程為y=x-1.                                                          ……………………1分

  直線l與y=g(x)的圖像相切，等價于方程組只有一解，

  即方程有兩個相等實根，

  ∴△=1-4?有丙個相等實根，

  (2)∵h(x)=ln(x+1)-x(x>-1)，由h′(x)=

  ∵h′(x)>0,∴-1<x<0

  ∴當x∈(-1，0)時，f(x)是增函數.

  即f(x)產單調遞增區間為(-1，0).                                              …………………6分

  (3)令y₁=f(1+x²)-g(x)=ln(1+x²)-

  由y₁′=

  令y₁′=0,則x=0,-1,1

  當x變化時，y₁′,y₁的變化關系如下表；

x

(-∞,-1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1,+∞)

y′

+

0

-

0

+

0

-

y

ㄊ

極大值ln2

ㄋ

極小值1/2

ㄊ

極大值ln2

ㄋ

  又因為y₁=ln(1+x²)-為偶函數，據此可畫

  出y₁=ln(1+x²)-示意圖如下

當k∈(ln2,+∞)時，方程無解；

當k=ln2或k∈時，方程有兩解；

當k=時，方程有三解；

當k∈()時，方程有四解.                                                 …………………12分

22.(1)設M(x,y),則由且O是原點得

  A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，從而(x，y),

  由得(x,y)?(x-2,y)=k[(x,y-1)?(x-2,y-1)-|y-1|²]

  即(1-k)x²+2(k-1)x+y²=0為所求軌跡方程                                   ………………4分

  ①當k=1時，y=0動點M的軌跡是一條直線

②當k≠1時，(x-1)2+

k=0時，動點M軌跡是一個圓

k>1時，動點M軌跡是一條雙曲線；

0<k<1或k<0時軌跡是一個橢圓                                        ………………6分

(2)當k=時，動點M的軌跡方程為(x-1)2+2y²=1即y²=-(x-1)²

從而

又由(x-1)²+2y²=1   ∴0≤x≤2

∴當x=時，的最大值為.

當x=0時，的最大值為16.

∴的最大值為4，最小值為                     …………………10分

(3)由由得

①當0<k<1時，a²=1,b²=1-k,c²=k

∴e²=k ∴

②當k<0時，e²=

∴k∈                                                      …………………14分