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已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，點A、B分別為其左、右頂點，點F₁、F₂分別為其左、右焦點，以點A為圓心，AF₁為半徑作圓A；以點B為圓心，OB為半徑作圓B；若直線l： y=-

3

3

x被圓A和圓B截得的弦長之比為

15

6

；
（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知a=7，問是否存在點P，使得過P點有無數條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為

3

4

；若存在，請求出所有的P點坐標；若不存在，請說明理由．

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已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁、l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當l₁與l₂夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
（2）當

FA

=λ

AP

時，求λ的最大值．

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已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁、l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當l₁與l₂夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
（2）當

FA

=λ

AP

時，求λ的最大值．

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一、選擇題(本大題12小題，每小題5分，共60分)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

D

D

A

B

C

C

C

A

D

A

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.4949；      14.[]            15.②④；             16.x<0或x>2

三、解答題(本大題共6小題共74分)

17.解(1)設，由，有x+y=-1                         ①……………1分

  與的夾角為，有，

  ∴，則x²+y²=1                                                             ②……………2分

  由①②解得，∴(-1，0)或(0，-1)       ……………4分

  (2)由2B=A+C知B=                      ……………5分

  由垂直知(0，-1)，則

                                  ……………6分

  ∴

  =1+                   ……………8分

  ∵0<A<

  ∴-1≤cos(2A+)<

  即                                                               ………………10分

  故                                                           ………………12分

18.解：(1)過點A作AF⊥CB交CB延長線于點F，連結EF，則AF⊥平面BCC₁B₁，∠AEF為所求直線AE與平面BCC₁B₁所成的角.                 …………………2分

  在Rt△AEF中，AF=∠AEF=

  故直線AE與平面BCC₁B₁所成的角為arctan             …………………6分

  (2)以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則

    A (0，-)，E (0，)，D₁ (-1，0，2)

                                          …………………8分

   設平面AED1的一個法向量則

   取z=2，得=(3，-1，2)

   ∴點O到平面AED₁的距離為d=              …………………12分

19.解(1)由(a_n+1+a_n+2+a_n+3)-(a_n+a_n+1+a_n+2)=1，

   ∴a₁?a₄,a₇…,a_3n-2是首項為1，公差為1的等差數列，

   ∴P_n=                                                …………………4分

   由

   ∴b₂,b₅,b₈, …b_3n-1是以1為首項，公比為-1的等比數列

   ∴Q_n=                                 …………………8分

   (2)對于P_n≤100Q_n

   當n為偶數時，不等式顯然不成立；

   當n為奇數時，，解得n=1，3，…，13.

所求之和為                                         ………………12分

20.解∵P(x=6)=                                                   ………………3分

  P(x=7)=                                             ………………6分

  P(x=8)=                                                      ………………9分

  ∴P(x≥6)=                                           ………………12分

  答：線路信息暢通的概率為

21.解：因為f′(x)=3x²+6ax+b,由題設得

  解得：                                                       ………………4分

  ∴當時，f′(x)=3x²+6x+3=3(x+1)2≥0,于是f(x)不存在極值；

  當時，f′(x)=3x²+12x+9=3(x+1)(x+3),符合條件。    ………………6分

  且f(1)=20, f(0)=4，于是由題設得：3x²+12x+9≤20m-8在區間[-4，3]上恒成立，又f′(x)=3x²+12x+9=3(x+2)²-3在區間 [-4，3]上的最大值為72.

 ∴,即實數m的取值范圍是.

22.(1)設M (x,y),則由且O是原點得

  A (2，0)，B  (2，1)，C (0，1)，從而(x，y),

  由得(x,y)?(x-2,y)=k[(x,y-1)?(x-2,y-1)-|y-1|²]

  即(1-k)x²+2(k-1)x+y²=0為所求軌跡方程                                   ………………4分

  ①當k=1時，y=0動點M的軌跡是一條直線

②當k≠1時，(x-1)²+

k=0時，動點M軌跡是一個圓

k>1時，動點M軌跡是一條雙曲線；

0<k<1或k<0時軌跡是一個橢圓 .                                     ………………6分

(2)當k=時，動點M的軌跡方程為(x-1)²+2y²=1即y²=-(x-1)²

從而

又由(x-1)²+2y²=1   ∴0≤x≤2

∴當x=時，的最大值為.

當x=0時，的最大值為16.

∴的最大值為4，最小值為                     …………………10分

(3)由由得

①當0<k<1時，a²=1,b²=1-k,c²=k

∴e²=k ∴

②當k<0時，e²=

∴k∈                                                      …………………14分