Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁、l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當l₁與l₂夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
（2）當

FA

=λ

AP

時，求λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）要求橢圓方程即求a、b的值，根據l₁與l₂的夾角為60°可以得

b

a

=

3

3

，由雙曲線的距離為4可以得a²+b²=4，進而解關于a，b的方程組可以得a、b，寫出橢圓的標準方程．
（2）根據

FA

=λ

AP

，欲求λ的最大值，需求A、P的坐標，而P是l與l₁的交點，故需求l的方程．將l與l₂的方程聯立可求得P的坐標，進而可求得點A的坐標．將A的坐標代入橢圓方程可求得λ的最大值．

解答：解：（1）∵雙曲線的漸近線為y=±

b

a

x，兩漸近線夾角為60°，
又

b

a

＜1，∴∠POx=30°，即

b

a

=tan30°=

3

3

．
∴a=

3

b．
又a²+b²=4，
∴a²=3，b²=1．
故橢圓C的方程為

x2

3

+y²=1．
（2）由已知l：y=

a

b

（x-c），與y=

b

a

x解得P（

a2

c

，

ab

c

），
由

FA

=λ

AP

得A（

c+λ• a2 c

1+λ

，

λ• ab c

1+λ

）．
將A點坐標代入橢圓方程得（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²．
∴（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²．
∴λ²=

e4-e2

e2-2

=-[（2-e²）+

2

2-e2

]+3≤3-2

2

．
∴λ的最大值為

2

-1．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查橢圓的標準方程，考查雙曲線的應用，考查函數的最值，本題是一個綜合題目．