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正負電子對撞機的最后部分的簡化示意圖如圖甲所示（俯視圖），位于水平面內的粗實線所示的圓環形真空管道是正、負電子做圓運動的“容器”，經過加速器加速后的正、負電子被分別引入該管道時，具有相等的速率ｖ，它們沿著管道向相反的方向運動．在管道內控制它們轉彎的是一系列圓形電磁鐵，即圖中的Ａ_１、Ａ_２、Ａ_３……Ａ_ｎ共有ｎ個，均勻分布在整個圓環上，每個電磁鐵內的磁場都是磁感應強度相同的勻強磁場，并且方向豎直向下，磁場區域的直徑為ｄ，改變電磁鐵內電流的大小，就可改變磁場的磁感應強度，從而改變電子偏轉的角度．經過精確的調整，首先實現電子在環形管道中沿圖甲中粗虛線所示的軌跡運動，這時電子經過每個電磁場區域時射入點和射出點都是電磁場區域的同一條直徑的兩端，如圖乙所示．這就為進一步實現正、負電子的對撞作好了準備．

（1）試確定正、負電子在管道內各是沿什么方向旋轉的；

（2）已知正、負電子的質量都是ｍ，所帶電荷都是元電荷ｅ，重力可不計，求電磁鐵內勻強磁場的磁感應強度Ｂ的大小．

1932年，勞倫斯和利文斯設計出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如下圖（甲）所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計。磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直。A處粒子源產生的粒子，質量為m、電荷量為+q，初速度為0，在加速器中被加速，加速電壓為U。加速過程中不考慮相對論效應和重力作用。

（1）求粒子第1次和第2次經過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；

（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t和粒子獲得的最大動能E_km；

（3）近年來，大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合。例如由直線加速器做為預加速器，獲得中間能量，再注入回旋加速器獲得最終能量。n個長度逐個增大的金屬圓筒和一個靶，它們沿軸線排列成一串，如圖（乙）所示（圖中只畫出了六個圓筒，作為示意)。各筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端。整個裝置放在高真空容器中。圓筒的兩底面中心開有小孔。現有一電量為q、質量為m的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間的縫隙處受到電場力的作用而加速（設圓筒內部沒有電場）。縫隙的寬度很小，離子穿過縫隙的時間可以不計。已知離子進入第一個圓筒左端的速度為v₁，且此時第一、二兩個圓筒間的電勢差₁－₂=－U。為為使打到靶上的離子獲得最大能量，各個圓筒的長度應滿足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量。

（14分）如圖16所示，在光滑絕緣的水平臺面上，存在平行于水平面向右的勻強電場，電場強度為E。水平臺面上放置兩個靜止的小球A和B（均可看作質點），兩小球質量均為m，A球帶電荷量為+Q，B球不帶電，A、B連線與電場線平行。開始時兩球相距L，在電場力作用下，A球開始運動（此時為計時零點，即t=0），后與B球發生對心碰撞，碰撞過程中A、B兩球總動能無損失，導致發生碰撞的兩球交換速度。設在各次碰撞過程中，A、B兩球間無電量轉移，且不考慮兩球碰撞時間及兩球間的萬有引力。

（1）第一次碰撞結束瞬間B球的速度V₀為多大？從A球開始運動到發生第一次碰撞所經歷的時間T₀是多少？

（2）分別在甲、乙坐標系中，用實線作出A、B兩球從計時零點到即將發生第三次碰撞這段過程中的v-t圖像。要求寫出必要的演算推理過程。

（3）從計時零點到即將發生第三次碰撞這段過程中電場力共做了多少功？

如圖甲，在圓柱形區域內存在一方向豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場，在此區域內，沿水平面固定一半徑為r的圓環形光滑細玻璃管，環心0在區域中心。一質量為m、帶電量為q（q>0）的小球，在管內沿逆時針方向（從上向下看）做圓周運動。已知磁感應強度大小B隨時間t的變化關系如圖乙所示，其中。設小球在運動過程中電量保持不變，對原磁場的影響可忽略。

（1）在t=0到t=T₀ 這段時間內，小球不受細管側壁的作用力，求小球的速度大小；

（2）在豎直向下的磁感應強度增大過程中，將產生渦旋電場，其電場線是在水平面內一系列沿逆時針方向的同心圓，同一條電場線上各點的場強大小相等。試求t=T₀ 到t=1.5T₀ 這段時間內：

①細管內渦旋電場的場強大小E；

②電場力對小球做的功W。

（20分）如圖甲，在圓柱形區域內存在一方向豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場，在此區域內，沿水平面固定一半徑為r的圓環形光滑細玻璃管，環心0在區域中心。一質量為m、帶電量為q（q>0）的小球，在管內沿逆時針方向（從上向下看）做圓周運動。已知磁感應強度大小B隨時間t的變化關系如圖乙所示，其中。設小球在運動過程中電量保持不變，對原磁場的影響可忽略。

（1）在t=0到t=T₀ 這段時間內，小球不受細管側壁的作用力，求小球的速度大小；

（2）在豎直向下的磁感應強度增大過程中，將產生渦旋電場，其電場線是在水平面內一系列沿逆時針方向的同心圓，同一條電場線上各點的場強大小相等。試求t=T₀ 到t=1.5T₀ 這段時間內：

①細管內渦旋電場的場強大小E；

②電場力對小球做的功W。