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設n是正整數，r為正有理數．
（Ⅰ）求函數f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

；
（Ⅲ）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數，例如[2]=2，[π]=4，[-

3

2

]=-1．令S=

3	81

+

3	82

+

3	83

+…+

3	125

，求[S]的值．
（參考數據：80

4

3

≈344.7，81

4

3

≈350.5，124

4

3

≈618.3，126

4

3

≈631.7)．

（2013•湖北）設n是正整數，r為正有理數．
（Ⅰ）求函數f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

；
（Ⅲ）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數，例如[2]=2，[π]=4，[-

3

2

]=-1．令S=

3	81

+

3	82

+

3	83

+…+

3	125

，求[S]的值．
（參考數據：80

4

3

≈344.7，81

4

3

≈350.5，124

4

3

≈618.3，126

4

3

≈631.7)．

設f（x）是定義在區間D上的函數，若對任何實數α∈（0，1）以及D中的任意兩個實數x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），則稱f（x）為定義在D上的C函數．
（Ⅰ）試判斷函數f1(x)=x2，f2=

1

x

(x＜0)是否為各自定義域上的C函數，并說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數，m是給定的正整數，設a_n=f_n，n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m．記S_f=a₁+a₂+…+a_m對于滿足條件的任意函數f（x），試求S_f的最大值；
（Ⅲ）若g（x）是定義域為R的函數，且最小正周期為T，試證明g（x）不是R上的C函數．