湖北省黃岡中學(xué)2009屆高三第一次模擬考試
數(shù) 學(xué) 試 題（理科）
命題：袁小幼 審稿：程金輝 校對(duì)：陳曉潔
本試卷滿分共150分，考試時(shí)間120分鐘．
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．“函數(shù)
存在反函數(shù)”是“函數(shù)
在R上減為函數(shù)”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．過原點(diǎn)和
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線的傾斜角為（ ）
A．
B．
C．
D．
3．不等式
表示的平面區(qū)域?yàn)椋?nbsp; ）
4．過半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則該截面的面積是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．右圖實(shí)線是函數(shù)
的圖象，它關(guān)于點(diǎn)A（a, a）對(duì)稱. 如果它是一條總體密度曲線，則正數(shù)a的值為（ ）
A．
B．
6．已知a、b、m、n、x、y均為正數(shù)，且
，若a、m、b、x成等差數(shù)列，a、n、b、y成等比數(shù)列，則有（ ）
A．m>n, x>y B．m>n, x<y C．m<n, x<y D．m<n, x>y
7．正三棱錐V―ABC的底面邊長為
A．
B．
C．
D．
8．已知不等式
，對(duì)任意
恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．（1，5） D．（2，5）
9．如圖所示，設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且
則△ABP與△ABC的面積之比等于（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在如圖所示的10塊地上選出6塊種植A1、A2、…、A6等六個(gè)不同品種的蔬菜，每塊種植一種不同品種蔬菜，若A1、A2、A3必須橫向相鄰種在一起，A4、A5橫向、縱向都不能相鄰種在一起，則不同的種植方案有（
）
A．3120 B．
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置上)
11．函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
，值域?yàn)?sub>
，則
的最小值為___________.
12．若雙曲線
的左焦點(diǎn)在拋物線
的準(zhǔn)線上，則p的值為__________.
13．某種基金今天的指數(shù)是2，以后每一天的指數(shù)都比上一天的指數(shù)增加0.2%，則100天以后這種基金的指數(shù)約是___________（精確到0.001）.
14．已知函數(shù)
，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使與
均不是正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________.
15．對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如右圖的方式“分裂”，仿此，52的“分裂”中最大的數(shù)是__________，若m3的“分裂”中最小的數(shù)是211，則m的值為__________.
三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本小題滿分12分）
在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且
成等差數(shù)列.
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求
的范圍.
17．（本小題滿分12分）
在奧運(yùn)會(huì)射箭決賽中，參賽號(hào)碼為1~4號(hào)的四名射箭運(yùn)動(dòng)員參加射箭比賽。
（Ⅰ）通過抽簽將他們安排到1~4號(hào)靶位，試求恰有兩名運(yùn)動(dòng)員所抽靶位號(hào)與其參賽號(hào)碼相同的概率；
（Ⅱ）記1號(hào)、2號(hào)射箭運(yùn)動(dòng)員射箭的環(huán)數(shù)為
（所有取值為0，1，2，3．．．，10）分別為
、
.根據(jù)教練員提供的資料，其概率分布如下表：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
0.06
0.04
0.06
0.3
0.2
0.3
0.04
0
0
0
0
0.04
0.05
0.05
0.2
0.32
0.32
0.02
①若1，2號(hào)運(yùn)動(dòng)員各射箭一次，求兩人中至少有一人命中9環(huán)的概率；
②判斷1號(hào)，2號(hào)射箭運(yùn)動(dòng)員誰射箭的水平高？并說明理由．
18．（本小題滿分12分）
如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為
，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足
，求
的最小值.
19．（本小題滿分12分）
如圖，在梯形ABCD中
，平面
平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點(diǎn)M在線段EF上.
（Ⅰ）求證：
平面ACFE；
（Ⅱ）當(dāng)EM為何值時(shí)，
平面BDF？證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求二面角B―EF―D的大小.
20．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)
.
（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并加以證明；
（Ⅱ）求函數(shù)的值域；
（Ⅲ）如果關(guān)于x的方程
有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
21．（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)
，
，數(shù)列
滿足：
.
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，比較x與的大小；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求證：
．
1．B 2．D 3．A 4．A 5．A 6．B 7．B 8．B 9．C 10．C
11．
12．4 13．2.442 14．
15．9，15
16．（Ⅰ）
，∴
，
∴
，∴
（Ⅱ）
，∴
，
∴
17．（Ⅰ）從4名運(yùn)動(dòng)員中任取兩名，其靶位號(hào)與參賽號(hào)相同，有
種方法，另2名運(yùn)動(dòng)員靶位號(hào)與參賽號(hào)均不相同的方法有1種，所以恰有一名運(yùn)動(dòng)員所抽靶位號(hào)與參賽號(hào)相同的概率為 
（Ⅱ）①由表可知，兩人各射擊一次，都未擊中9環(huán)的概率為P=（1-0.3）（1-0.32）=0.476
至少有一人命中9環(huán)的概率為p=1-0.476=0.524
②
所以2號(hào)射箭運(yùn)動(dòng)員的射箭水平高.
18．（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為
，則有
，∴a=6, b=3.∴橢圓C的方程為
（Ⅱ）
，設(shè)點(diǎn)
，則
∴
，∵
，∴
，∴
∴
的最小值為6.
19．（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵
，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且
∴
，∴
又∵平面
平面ABCD，交線為AC，∴
平面ACFE.
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，
平面BDF. 在梯形ABCD中，設(shè)
，連結(jié)FN，則
∵而
，∴
∴MF
AN，
∴四邊形ANFM是平行四邊形. ∴
又∵
平面BDF，
平面BDF. ∴平面BDF.
（Ⅲ）取EF中點(diǎn)G，EB中點(diǎn)H，連結(jié)DG、GH、DH，∵DE=DF，∴
∵平面ACFE，∴
又∵
，∴
又∵
，∴
∴
是二面角B―EF―D的平面角.
在△BDE中
∴
∴
，
∴
又
∴在△DGH中，
由余弦定理得
即二面角B―EF―D的大小為
20．（Ⅰ）設(shè)
，
，
∴
在
單調(diào)遞增.
(Ⅱ)當(dāng)
時(shí)，
，又
，
，即
；
當(dāng)
時(shí)，
，
，由
，得
或
.
的值域?yàn)?sub>
（Ⅲ）當(dāng)x=0時(shí)，
，∴x=0為方程的解.
當(dāng)x>0時(shí)，
，∴
，∴
當(dāng)x<0時(shí)，
，∴
，∴
即看函數(shù)
與函數(shù)
圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)畫出
的大致圖象，
∴
，∴
21．（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，
，∴
，令
有x=0，
當(dāng)
單調(diào)遞減；當(dāng)
單調(diào)遞增.
∴
∴
；
（Ⅱ）∵
，∴
∴
∴
為首項(xiàng)是1、公比為
的等比數(shù)列. ∴
∴
；
（Ⅲ）∵
，由（1）知
，
∴
，即證．
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