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現有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產品價格的調整有關,在每次調整中價格下降的概率都是,設乙項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整,記乙項目產品價格在一年內的下降次數為,對乙項目每投資十萬元, 取0、1、2時, 一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量、分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤.

(I)  求、的概率分布和數學期望、;

(II)  當時,求的取值范圍.

(20) (本小題滿分14分)

已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

(II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求P的值。

21．（本小題滿分12分）

已知函數f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數列，，且a＞0,d＞0.設［1-］上，，在，將點A， B， C

   (I)求

(II)若ㄓABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a ,d的值

22．（本小題滿分12分）

     已知,其中,設,.

(I) 寫出;

(II) 證明:對任意的,恒有.

2006年高考試題遼寧卷理科數學試題

一. 選擇題

(2)    設集合,則滿足的集合B的個數是（  ）

(A)1    (B)3    (C)4   (D)8

【解析】，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉化為求集合的子集個數問題，所以滿足題目條件的集合B共有個。故選擇答案C。

【點評】本題考查了并集運算以及集合的子集個數問題，同時考查了等價轉化思想。

(2) 設是R上的任意函數,則下列敘述正確的是

(A)是奇函數  (B)是奇函數  

(C) 是偶函數  (D) 是偶函數

【解析】A中則，

即函數為偶函數，B中，此時與的關系不能確定，即函數的奇偶性不確定，

C中，，即函數為奇函數，D中，

，即函數為偶函數，故選擇答案D。

【點評】本題考查了函數的定義和函數的奇偶性的判斷，同時考查了函數的運算。

(3) 給出下列四個命題:

    ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.

③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.

④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.

其中假命題的個數是

(A)1    (B)2    (C)3   (D)4

【解析】利用特殊圖形正方體我們不難發現①、②、③、④均不正確，故選擇答案D。

【點評】本題考查了空間線面的位置關系以及空間想象能力，同時考查了立體幾何問題處理中運用特殊圖形舉例反證的能力。

(4) 雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區域,表示該區域的不等式組是

(A)    (B)   (C)    (D)

【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個三角形區域時有。

【點評】本題考查了雙曲線的漸近線方程以及線性規劃問題。

(5) 設+是R上的一個運算,A是R的非空子集,若對任意有+,則稱A對運算+封閉,下列數集對加法、減法、乘法和除法(除數不等于零)四則運算都封閉的是

(A)自然數集   (B)整數集    (C)有理數集   (D)無理數集

(15) 5名乒乓球隊員中,有2名老隊員和3名新隊員.現從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽,則入選的3名隊員中至少有一名老隊員,且1、2號中至少有1名新隊員的排法有_______種.(以數作答)

【解析】兩老一新時, 有種排法;

兩新一老時, 有種排法,即共有48種排法.

【點評】本題考查了有限制條件的排列組合問題以及分類討論思想.

(16) 若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為,則=______

【解析】不妨認為一個正四棱柱為正方體,與正方體的所有面成角相等時,為與相交于同一頂點的三個相互垂直的平面所成角相等,即為體對角線與該正方體所成角.故.

【點評】本題考查了直線與平面所成角的定義以及正四棱柱的概念,充分考查了轉化思想的應用.

(17) (本小題滿分12分)

已知函數，.求:

(I) 函數的最大值及取得最大值的自變量的集合；

(II) 函數的單調增區間.

【解析】(I) 解法一:

當,即時, 取得最大值.

函數的取得最大值的自變量的集合為.

解法二:

當,即時, 取得最大值.

函數的取得最大值的自變量的集合為.

(II)解:

由題意得:

即:

因此函數的單調增區間為.

【點評】本小題考查三角公式,三角函數的性質及已知三角函數值求角等基礎知識,考查綜合運用三角有關知識的能力.

(18) (本小題滿分12分)]

已知正方形.、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為.

(I) 證明平面;

(II)若為正三角形,試判斷點在平面內的射影是否在直線上,證明你的結論,并求角的余弦值.

【解析】(I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,

EB//FD,且EB=FD,

四邊形EBFD為平行四邊形.

BF//ED

平面.

(II)解法1:

如右圖,點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,

過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結GC,GD.

ACD為正三角形,

AC=AD

CG=GD

G在CD的垂直平分線上,

點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,

過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即

設原正方體的邊長為2a,連結AF

在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF為直角三角形,

在RtADE中,

.

解法2:點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上

連結AF,在平面AEF內過點作,垂足為.

ACD為正三角形,F為CD的中點,

又因,

所以

又且

為A在平面BCDE內的射影G.

即點A在平面BCDE內的射影在直線EF上

過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即

設原正方體的邊長為2a,連結AF

在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF為直角三角形,

在RtADE中,

.

解法3: 點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上

連結AF,在平面AEF內過點作,垂足為.

ACD為正三角形,F為CD的中點,

又因,

所以

又

為A在平面BCDE內的射影G.

即點A在平面BCDE內的射影在直線EF上

過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即

設原正方體的邊長為2a,連結AF

在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF為直角三角形,

在RtADE中,

,

.

【點評】本小題考查空間中的線面關系,解三角形等基礎知識考查空間想象能力和思維能力.

(19) (本小題滿分12分)

現有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產品價格的調整有關,在每次調整中價格下降的概率都是,設乙項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整,記乙項目產品價格在一年內的下降次數為,對乙項目每投資十萬元, 取0、1、2時, 一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量、分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤.

(I)  求、的概率分布和數學期望、;

(II)  當時,求的取值范圍.

【解析】

(I)解法1: 的概率分布為

1.2

1.18

1.17

P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

由題設得,則的概率分布為

0

1

2

P

故的概率分布為

1.3

1.25

0.2

P

所以的數學期望為

E=++=.

解法2: 的概率分布為

1.2

1.18

1.17

P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

設表示事件”第i次調整,價格下降”(i=1,2),則

P(=0)= ;

P(=1)=;

P(=2)=

故的概率分布為

1.3

1.25

0.2

P

所以的數學期望為

E=++=.

(II)  由,得:

因0<p<1,所以時,p的取值范圍是0<p<0.3.

【點評】本小題考查二項分布、分布列、數學期望、方差等基礎知識,考查同學們運用概率知識解決實際問題的能力.

(20) (本小題滿分14分)

已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

(II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求p的值。

【解析】(I)證明1:

整理得:

設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則

即

整理得:

故線段是圓的直徑

證明2:

整理得:

……..(1)

設(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則

即

去分母得:

點滿足上方程,展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

證明3:

整理得:

……(1)

以線段AB為直徑的圓的方程為

展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

(II)解法1:設圓C的圓心為C(x,y),則

又因

所以圓心的軌跡方程為

設圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則

當y=p時,d有最小值,由題設得

.

解法2: 設圓C的圓心為C(x,y),則

又因

所以圓心的軌跡方程為

設直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則

因為x-2y+2=0與無公共點,

所以當x-2y-2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x-2y=0的距離最小值為

將(2)代入(3)得

解法3: 設圓C的圓心為C(x,y),則

圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則

又因

當時,d有最小值,由題設得

.

【點評】本小題考查了平面向量的基本運算,圓與拋物線的方程.點到直線的距離公式等基礎知識,以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力.

21．（本小題滿分12分）

已知函數f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數列，，且a＞0,d＞0.設［1-］上，，在，將點A， B， C

   (I)求

(II)若ㄓABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a ,d的值

【解析】(I)解:

令,得

當時, ;

當時,

所以f(x)在x=-1處取得最小值即

(II)

的圖像的開口向上,對稱軸方程為

由知

在上的最大值為

即

又由

當時, 取得最小值為

由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸,所以

又由三角形ABC的面積為得

利用b=a+d,c=a+2d,得

聯立(1)(2)可得.

解法2:

又c>0知在上的最大值為

即:

又由

當時, 取得最小值為

由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸,所以

又由三角形ABC的面積為得

利用b=a+d,c=a+2d,得

聯立(1)(2)可得

【點評】本小題考查了函數的導數,函數的極值的判定,閉區間上二次函數的最值,等差數基礎知識的綜合應用,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力

22．（本小題滿分12分）

     已知,其中,

設,.

(I) 寫出;

(II) 證明:對任意的,恒有.

【解析】(I)由已知推得,從而有

(II) 證法1:當時,

當x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數

因函數為偶函數所以在[-1,0]上為減函數

所以對任意的

因此結論成立.

證法2: 當時,

當x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數

因函數為偶函數所以在[-1,0]上為減函數

所以對任意的

又因

所以

因此結論成立.

證法3: 當時,

當x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數

因函數為偶函數所以在[-1,0]上為減函數

所以對任意的

由

對上式兩邊求導得

因此結論成立.

【點評】本小題考查導數的基本計算,函數的性質,絕對值不等式及組合數性質等基礎知識,考查歸納推理能力以及綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力.