湖北省襄樊市2009年3月高三調研統一測試
數 學(文科)
命題人：襄樊市教研室 郭仁俊 審定人：襄樊四中 尹春明
本試卷共4頁，全卷滿分150分．考試時間120分鐘。
★祝考試順利★
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考號填寫在答題卷密封線內，將考號最后兩位填在答題卷右下方座位號內，同時把機讀卡上的項目填涂清楚，并認真閱讀答題卷和機讀卡上的注意事項。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。答在試題卷上無效。
3．將填空題和解答題用0.5毫米黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卷上每題對應的答題區域內，答在試題卷上無效。
4．考試結束后，請將機讀卡和答題卷一并上交．
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。)
1.
設全集U
= {1，3，5，7}，M
= {1，a－5}，∁U M = {5，7}，則實數a的值為
A．－2 B．2 C．－8 D．8
2.
已知向量a = (1，n)，b = (－1，n)，若a與b垂直，則| a |等于
A．1 B．2 C．
D．4
3.
已知函數
，則
的值是
A．
B．
C．－9 D．9
4.
已知函數
的最小正周期為
,則該函數圖象
A．關于直線
對稱 B．關于點(
，0)對稱
C．關于點(
，0)對稱 D．關于直線
對稱
5.
對于平面
和直線m、n，給出下列命題：
①若
，則m、n與所成的角相等；②若
，
，則；
③若
，
，則；④若m與n是異面直線，且，則n與相交．
其中真命題的個數是
A．1 B．2 C．3 D．4
6.
設奇函數
在(0，＋∞)上為增函數，且
，則不等式
的解集為
A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)
7.
袋中有40個小球，其中紅色球16個，藍色球12個，白色球8個，黃色球4個，從中隨機抽取10個球作成一個樣本，則這個樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為
A．
B．
C．
D．
8.
如圖，直線MN與雙曲線
的左右兩支分別交于M、N兩點，與雙曲線的右準線交于P點，F為右焦點，若|FM| = 2|FN|，
，則實數
的取值為
A．
B．
9.
設P表示平面圖形，m(P)是P表示的圖形面積．已知
，
，且
，則下列恒成立的是
A．
B．
C．
D．
10.
已知圖一中的圖像對應的函數為
，則圖二中的圖像對應的函數在下列給出的四式中，只可能是
A．
B．
C．
D．
二．填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卷相應位置上。)
11. 過點A(2，－3)，且與向量m = (4，－3)垂直的直線方程是 ．
12. 從1到100的正整數中刪去所有2的倍數及3的倍數后，剩下數有 個．
13.
已知正方體外接球的體積是
，那么正方體的棱長等于 ．
14.
假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為
15.
已知是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，
，那么在區間[－1，3]內，關于x的方程
(k∈R，k≠1)有4個根，則k的取值范圍為 ．
三．解答題(本大題共6小題，滿分75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。)
16. 
(本大題滿分12分)
某校高三文科分為四個班，高三數學調研測試后，隨機地在各班抽取部分學生進行測試成績統計，各班被抽取的學生人數恰好成等差數列，人數最少的班被抽取了22人．抽取出來的所有學生的測試成績統計結果的頻率分布條形圖如圖所示，其中120~130 (包括120分但不包括130分)的頻率為0.05，此分數段的人數為5人．
(1)各班被抽取的學生人數各為多少人?
(2)在抽取的所有學生中，任取一名學生，求分數不小于90分的概率．
17.
(本大題滿分12分)
已知A、B、C的坐標分別為A(3，0)、B(0，3)、C(
)，
．
(1)若
，求角的值；
(2)若
，求
的值．
18.
(本大題滿分12分)
在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC = CD
= 1．
(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大小；
(3)若直線BD與平面ACD所成的角為30°，求線段AB的長度．
 |
19. (本大題滿分12分)
已知點A(－1，0)、B(1，0)和動點M滿足：
，且
，動點M的軌跡為曲線C，過點B的直線交C于P、Q兩點．
(1)求曲線C的方程；
(2)求△APQ面積的最大值．
20. (本大題滿分13分)
己知a≠0，函數
，二次函數
．
(1)若a < 0，求函數的單調區間；
(2)當函數
存在最大值且與的圖象只有一個公共點時，記的最大值為
，求函數的解析式；
(3)若函數與在區間(a－2，a)內均為增函數，求實數a的取值范圍．
21. (本大題滿分14分)
已知數列{an}的前n項和Sn是二項式
展開式中含x奇次冪的系數和．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設
，
，求
的值．
一．選擇題：DCBBA
二．填空題：11．4x－3y－17 = 0 12．33 13．
14．
15．
三．解答題：
16．(1)解：由頻率分布條形圖知，抽取的學生總數為
人 4分
∵各班被抽取的學生人數成等差數列，設其公差為d
由4×22＋6d = 100解得：d = 2 6分
∴各班被抽取的學生人數分別是22人，24人，26人，28人． 8分
(2)解：在抽取的學生中，任取一名學生，分數不小于90分的概率為
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75 12分
17．(1)解：∵
，
2分
∴由
得：
，即
4分
又∵
，∴
6分
(2)解：
8分
由
得：
，即
10分
兩邊平方得：
，∴
12分
18．方法一
(1)證：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC 2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC 4分
(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角
6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小為45°
8分
(3)解：過點B作BH⊥AC，垂足為H，連結DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角
10分
設AB = a，在Rt△BHD中，
，
∴
， 10分
解得：
，即線段AB的長度為1 12分
方法二
(1)同方法一 4分
(2)解：設以過B點且∥CD的向量為x軸，
為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB = a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，
= (1，1，0)，
= (0，0，a)
平面ABC的法向量
= (1，0，0)
設平面ABD的一個法向量為n = (x，y，z)，則
取n = (1，－1，0)
6分
∴二面角C－AB－D的大小為45° 8分
(3)解：
= (0，1，－a)，
= (1，0，0)，
= (1，1，0)
設平面ACD的一個法向量是m = (x，y，z)，則
∴取m = (0，a，1)，由直線BD與平面ACD所成角為30°，故向量、m的夾角為60°
故
10分
解得：，即線段AB的長度為1 12分
19．(1)解：設M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即
2分
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a = 2，c = 1
∴曲線C的方程為
． 4分
(2)解法一：設直線PQ方程為
(
∈R)
由
得：
6分
顯然，方程①的
，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有
8分
令
，則t≥4，
10分
當
時有最大值9，故
，即S≤3，∴△APQ的最大值為3 12分
解法二：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則
當直線PQ的斜率不存在時，易知S = 3
設直線PQ方程為
由
得：
① 6分
顯然，方程①的△＞0，則
∴
8分
10分
令
，則
∴
，即S＜3
∴△APQ的最大值為3 12分
20．(1)解：
∵a＜0，∴
故函數f (x)在區間(－∞，
)、(－a，＋∞)上單調遞增，在(，－a)上單調遞減 4分
(2)解：∵二次函數
有最大值，∴a＜0 5分
由
得：
6分
∵函數
與
的圖象只有一個公共點，
∴
，又a＜0，∴－1≤a＜0 8分
又
，∴
(－1≤a＜0) 10分
(3)解：當a < 0時，函數f (x)在區間(－∞，)、(－a，＋∞)上單調遞增，
函數g (x)在區間(－∞，
)上單調遞增
∴
12分
當a > 0時，函數f (x)在區間(－∞，－a)、(，＋∞)上單調遞增，
函數g (x)在區間(，＋∞)上單調遞增
∴
綜上所述，實數a的取值范圍是(－∞，
]∪[3，＋∞) 13分
21．(1)解：記
令x = 1得：
令x =－1得：
兩式相減得：
，∴
4分
當n≥2時，
當n = 1時，
，適合上式
∴
6分
(2)解：
注意到
8分
可改寫為：
∴
故
10分
∴
12分
14分
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