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本小題滿分12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，。
（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的大小。

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一．選擇題：DCBBA  DACCA

二．填空題：11．4x－3y－17 = 0　　12．33　　13．　　14．　　15．

三．解答題：

16．(1)解：由頻率分布條形圖知，抽取的學生總數為人                            4分
∵各班被抽取的學生人數成等差數列，設其公差為d
由4×22＋6d = 100解得：d = 2                                                                              6分
∴各班被抽取的學生人數分別是22人，24人，26人，28人．                                 8分
(2)解：在抽取的學生中，任取一名學生，分數不小于90分的概率為
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75                                                                                        12分

17．(1)解：∵，                                  2分
∴由得：，即              4分
又∵，∴                                                                                    6分

(2)解：                                    8分
由得：，即          10分
兩邊平方得：，∴                                                                        12分

18．方法一

(1)證：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC                                                      2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　 4分

(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角          6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小為45°              8分

(3)解：過點B作BH⊥AC，垂足為H，連結DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角           10分
設AB = a，在Rt△BHD中，，
∴，                                                                                    10分
解得：，即線段AB的長度為1                                                                           12分

方法二
(1)同方法一                                                                                                               4分
(2)解：設以過B點且∥CD的向量為x軸，為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB = a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
平面ABC的法向量 = (1，0，0)
設平面ABD的一個法向量為n = (x，y，z)，則

取n = (1，－1，0)                           6分

∴二面角C－AB－D的大小為45°                                                                           8分

(3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
設平面ACD的一個法向量是m = (x，y，z)，則
∴取m = (0，a，1)，由直線BD與平面ACD所成角為30°，故向量、m的夾角為60°
故                                                                               10分
解得：，即線段AB的長度為1                                                                           12分

19．(1)解：設M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即                        2分
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a = 2，c = 1
∴曲線C的方程為．                                                                                4分

(2)解法一：設直線PQ方程為 (∈R)
由 得：                                                            6分
顯然，方程①的，設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則有

                                                           8分
令，則t≥4，                10分
當時有最大值9，故，即S≤3，∴△APQ的最大值為3               12分

解法二：設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則
當直線PQ的斜率不存在時，易知S = 3
設直線PQ方程為
由  得：  ①                                         6分
顯然，方程①的△＞0，則
∴                                    8分
                                10分
令，則
∴，即S＜3

∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分

20．(1)解：
∵a＜0，∴
故函數f (x)在區間(－∞，)、(－a，＋∞)上單調遞增，在(，－a)上單調遞減    4分

(2)解：∵二次函數有最大值，∴a＜0                                              5分
由得：                                                                           6分
∵函數與的圖象只有一個公共點，
∴，又a＜0，∴－1≤a＜0                                                 8分
又，∴　(－1≤a＜0)                                  10分

(3)解：當a < 0時，函數f (x)在區間(－∞，)、(－a，＋∞)上單調遞增，
函數g (x)在區間(－∞，)上單調遞增

∴                                                                                            12分
當a > 0時，函數f (x)在區間(－∞，－a)、(，＋∞)上單調遞增，
函數g (x)在區間(，＋∞)上單調遞增
∴
綜上所述，實數a的取值范圍是(－∞，]∪[3，＋∞)                                        13分

21．(1)解：記
令x = 1得：
令x =－1得：
兩式相減得：，∴                                    4分
當n≥2時，
當n = 1時，，適合上式
∴                                                                                                6分

(2)解：
注意到                               8分
可改寫為：

∴
故                                                                                                               10分
∴
           12分
                                                                                              14分