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練習冊

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試題

絕密★啟用前

深圳市第二實驗學校2009屆高三數學模擬試卷二(理科)

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：

1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將考試科目、試卷類型填涂在答題卡相應位置上。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。

3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域的相應位置上，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。

4．考試結束后，監考人員將本試卷和答題卡一并收回。

參考公式：

如果事件、互斥，那么．

如果事件、相互獨立，那么．

第一部分選擇題（共40分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知集合，集合，則（）

A． B． C． D．

2．若將復數表示為a + bi（a，b∈R，i是虛數單位）的形式，則a + b = （）

A．0 B．1 C．?1 D．2

3．若為不等式組表示的平面區域，則當從－2連續變化到1時，動直線掃過中的那部分區域的面積為 ( )

A． B．1 C． D．5

4．已知數列是公比為的等比數列，且，，成等差數列.則= （）

A．1 B． C．或1 D．或

5．已知函數，給出下列四個命題：（）

①若，則　②的最小正周期是　　　　　

③在區間上是增函數．　　④的圖象關于直線對稱

其中真命題是

．①②④　　　　　．①③　　　　　．②③　　　　．③④

6．若m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，則以下命題正確的是 ( )

A．若m∥α，nα，則m∥n B．若m∥α，mβ，α∩β=n，則m∥n

C．若m∥α，n∥α，則m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，則n⊥α

7．命題：，，則（）

．是假命題，：　　　

．是假命題，：　　　　

．是真命題，：，　

．是真命題，：

8．函數圖象上的動點P到直線的距離為，點P到軸的距離為，則（）

A．5 B． C． D．不確定的正數

第二部分非選擇題（共110分）

二、填空題：（本大題共7小題，其中9～12題是必做題, 13～15題是選做題. 考生只能從中選做兩題，三題全做，計算前兩題得分．每小題5分，共30分。）

9.一個總體中的80個個體編號為0，l，2，……，79，并依次將其分為8個組，組號為0，1，…，7，要用（錯位）系統抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本．即規定先在第0組隨機抽取一個號碼，記為i，依次錯位地得到后面各組的號碼，即第k組中抽取個位數為i+k（當i＋k<10）或i+k－10（當i＋k≥10）的號碼．在i=6時，所抽到的8個號碼是___________.

10.如果執行右面的程序框圖，那么輸出的___________.

11.是平面上一點，是平面上不共線三點，動點滿足

，時，則）的值為______________.學0

12.若展開式的二項式系數之和為64，科網則展開式的常數項為．學科網

13. （坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，若過點且與極軸垂直的直線交曲線于A、B兩點，則_________ ．

14.（不等式選講選做題）設，則的最小值為________．

15.（幾何證明選講選做題）如圖，已知PA、PB是圓O的切線，A、B分別為切點，C為圓O上不與A、B重合的另一點，若∠ACB = 120°，則∠APB = ．

三、解答題：(本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程．)

16．（本題滿分12分）

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若m，n，試求|mn|的最小值．

17．（本小題滿分12分）

某俱樂部舉行迎圣誕活動，每位會員交50元活動費，可享受20元的消費，并參加一次游戲：擲兩顆正方體骰子，點數之和為12點獲一等獎，獎價值為a元的獎品；點數之和為11或10點獲二等獎，獎價值為100元的獎品；點數之和為9或8點獲三等獎，獎價值為30元的獎品；點數之和小于8點的不得獎。求：

（Ⅰ）同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎的概率；

（Ⅱ）如該俱樂部在游戲環節不虧也不贏利，求a的值。

18．（本題滿分14分）

已知幾何體A―BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（Ⅰ）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角A-ED-B的正弦值；（3）求此幾何體的體積V的大小.

19．（本題滿分14分）

設、是橢圓上的兩點，點是線段的中點，線段的垂直平分線與橢圓相交于、兩點．

（Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線的方程；

（Ⅱ）求以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程．

20. （本題滿分14分）

在正項數列中,令.

（Ⅰ）若是首項為25,公差為2的等差數列,求；

（Ⅱ）若（為正常數）對正整數恒成立,求證為等差數列；

（Ⅲ）給定正整數,正實數,對于滿足的所有等差數列,

求的最大值.

21．（本題滿分14分）

已知函數在[1，＋∞）上為增函數，且θ∈（0，π），，m∈R．

（Ⅰ）求θ的值；

（Ⅱ）若在[1，＋∞）上為單調函數，求m的取值范圍；

（Ⅲ）設，若在[1，e]上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

深圳市第二實驗學校2009屆高三數學模擬試卷一(理科)

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.B 2. B 3. C 4. C 5.D 6. B 7.C 8. B.

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9. 6，17，28，39，40，51，62，73 . 10. . 11. 0.

12. 20. 13. . 14. . 15. .

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

16.（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ），即，

∴，∴．∵，∴．

（Ⅱ）mn ，

|mn|．

∵，∴，∴．從而．

∴當＝1，即時，|mn|取得最小值．

所以，|mn|．

17．（本小題滿分12分）

解：（1）設擲兩顆正方體骰子所得的點數記為（x，y），其中，

則獲一等獎只有（6，6）一種可能，其概率為：；

獲二等獎共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5種可能，其概率為：；

設事件A表示“同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎”，則有：

P（A）=；

ξ

30-a

-70

0

30

p

（2）設俱樂部在游戲環節收益為ξ元，則ξ的可能取值為,,0,,…7分

其分布列為：

則：Eξ=；

由Eξ=0得：a=310，即一等獎可設價值為310 元的獎品。

18．（本小題滿分14分）

證明：（1）取EC的中點是F，連結BF，

則BF//DE，∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．………5分

（2）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．

可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE

∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=

∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值為．

（3）

∴幾何體的體積V為16．

方法二：（坐標法）（1）以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，∴

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．

（2）平面BDE的一個法向量為，

設平面ADE的一個法向量為，
∴

從而,

令，則,

∴二面角A-ED-B的的正弦值為．

（3），∴幾何體的體積V為16．

19．（本小題滿分14分）

【解】（Ⅰ）法1：依題意，顯然的斜率存在,可設直線的方程為，

整理得． ①

設是方程①的兩個不同的根，

∴， ②

且，由是線段的中點，得

，∴．

解得，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）．

于是，直線的方程為，即

法2：設，，則有

依題意，，∴．

∵是的中點，

∴，，從而．

又由在橢圓內，∴，

∴的取值范圍是．

直線的方程為，即．

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得． ③

又設，的中點為，則是方程③的兩根，

∴．

到直線的距離，故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為：．

20．（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：由題意得,,所以=

（Ⅱ）證:令,,則=1

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化簡得（3）

（4）,（4）―（3）得

在（3）中令,得,從而為等差數列

（Ⅲ）記,公差為,則=

則,

則,當且僅當,即時等號成立

21．（本小題滿分14分）

解：（1）由題意，≥0在上恒成立，即．

∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，

只須，即，只有．結合θ∈（0，π），得．

（2）由（1），得．．

∵在其定義域內為單調函數，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．

等價于，即，

而，（）_max=1，∴．

等價于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．

綜上，m的取值范圍是．

（3）構造，．

當時，，，，所以在[1，e]上不存在一個，使得成立．

當時，．

因為，所以，，所以在恒成立．

故在上單調遞增，，只要，

解得．故的取值范圍是．


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