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已知函數f（x）的定義域為[0，1]，且同時滿足：①f（1）=3；②f（x）≥2對一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）試比較與的大小；
（Ⅲ）某同學發現：當（n∈N）時，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

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已知函數f（x）的定義域為[0，1]，且同時滿足：①f（1）=3；②f（x）≥2對一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）試比較與的大小；
（Ⅲ）某同學發現：當（n∈N）時，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.B   2. B   3. C   4. C   5.D   6. B   7.C   8. B.

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9. 6，17，28，39，40，51，62，73 .  10. .     11. 0. 

12. 20.   13. .     14. .    15. .

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

16.（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ），即，

∴，∴．∵，∴．

（Ⅱ）mn ，

|mn|．

∵，∴，∴．從而．

∴當＝1，即時，|mn|取得最小值．

所以，|mn|．

17．（本小題滿分12分）

解：（1）設擲兩顆正方體骰子所得的點數記為（x，y），其中，

則獲一等獎只有（6，6）一種可能，其概率為：；   

獲二等獎共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5種可能，其概率為：；

設事件A表示“同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎”，則有：

P（A）=；                        

ξ

30-a

-70

0

30

p

（2）設俱樂部在游戲環節收益為ξ元，則ξ的可能取值為,,0,,…7分

其分布列為：

則：Eξ=；

由Eξ=0得：a=310，即一等獎可設價值為310 元的獎品。      

18．（本小題滿分14分）

證明：（1）取EC的中點是F，連結BF，

則BF//DE，∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．………5分

（2）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．

可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE

∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=

∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值為．

（3）

∴幾何體的體積V為16．

方法二：（坐標法）（1）以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，∴

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．

（2）平面BDE的一個法向量為，

設平面ADE的一個法向量為，
∴

從而,

令，則,

∴二面角A-ED-B的的正弦值為．

（3），∴幾何體的體積V為16．

19．（本小題滿分14分）

【解】（Ⅰ）法1：依題意，顯然的斜率存在,可設直線的方程為，

整理得 ． ①   

    設是方程①的兩個不同的根，

    ∴，   ②                 

    且，由是線段的中點，得

    ，∴．

    解得，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）．

    于是，直線的方程為，即     

    法2：設，，則有

    依題意，，∴．              

∵是的中點，

∴，，從而．

又由在橢圓內，∴，

∴的取值范圍是．                          

直線的方程為，即．       

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得．  ③         

又設，的中點為，則是方程③的兩根，

∴．

到直線的距離，故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為：．

20．（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：由題意得,,所以=

（Ⅱ）證:令,,則=1

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化簡得（3）

（4）,（4）―（3）得

在（3）中令,得,從而為等差數列

（Ⅲ）記,公差為,則=

則,

則,當且僅當,即時等號成立

21．（本小題滿分14分）

解：（1）由題意，≥0在上恒成立，即．

         ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，

         只須，即，只有．結合θ∈（0，π），得．

（2）由（1），得．．

∵在其定義域內為單調函數，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．

 等價于，即，

     而 ，（）_max=1，∴．

等價于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．

綜上，m的取值范圍是．

（3）構造，．

當時，，，，所以在[1，e]上不存在一個，使得成立．

當時，．

因為，所以，，所以在恒成立．

故在上單調遞增，，只要，

解得．故的取值范圍是．