2009屆深圳市第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三模擬考試一
數(shù)學(xué)(理科)
參考公式:錐體的體積公式
,其中
是錐體的底面積,
是錐體的高.
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.設(shè)集合
,則滿足
的集合
的個(gè)數(shù)是( )
![]()
A.0 B.1 C.2 D.3![]()
1.
2.在等比數(shù)列
中,已知
,那么
( )![]()
2.
A.4
B.6
C.12
D.16![]()
3. 3.在樣本的頻率分布直方圖中,共有11個(gè)小長方形,若其中一個(gè)小長方形的面積等于其他10個(gè)小長方形面積和的四分之一,樣本容量為160,則該小長方形這一組的頻數(shù)為( )
4.
A .32 B.
C.40 D.
![]()
![]()
4.若
,則
大小關(guān)系是( )
A.
B.
C.
D.
5.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的體積是( )
A.27 B.30 C.33 D.36![]()
6.在
中,
分別為三個(gè)內(nèi)角
所對(duì)應(yīng)的邊,設(shè)向量
,
,若
,則角
的大小為( )
A.
B.
C.
D.![]()
7.函數(shù)![]()
的圖象恒過定點(diǎn)
,若點(diǎn)
在直線
上,其中
,則
的最小值為( )
A.2
B.
D.![]()
8.若直線
與圓
交于
兩點(diǎn),且
關(guān)于直線
對(duì)稱,動(dòng)點(diǎn)P
在不等式組
表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng),則
的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.![]()
![]()
二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15題是選做題,考生只能選做兩題,三題全答的,只計(jì)算前兩題得分.
9.在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)規(guī)范如框圖所示,則能輸出數(shù)對(duì)
的概率是 . ![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
10.如果復(fù)數(shù)
,則
的展開式(按
的升冪排列)的第5項(xiàng)是
。
11、已知
,則
=
。
12.已知直線
與圓
交于
兩點(diǎn),且
,其中
為坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)
的值為_________________。
13.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)極坐標(biāo)內(nèi)曲線
的中心
與點(diǎn)![]()
的距離為 .
14.(不等式選講選做題)函數(shù)
15.(幾何證明選講選做題)如圖,DA,CB,DC與以AB為直徑的半圓分別
相切于點(diǎn)A、B、E,且BC:AD=1:2,CD=
則四邊形ABCD的面積等于
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16、(本題滿分12分) 在△ABC中,
為三個(gè)內(nèi)角
為三條邊,
且
(1)判斷△ABC的形狀; (2)若
,求
的取值范圍
17.(本小題滿分12分)
如圖, 在正方體
―
中, ![]()
為
的中點(diǎn).
(1)證明:平面![]()
平面
;
(2)求
與平面
所成角的大小的正弦值.
18.(本小題滿分14分)
一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3、4數(shù)字的4個(gè)球, 從這只袋中每次取出1個(gè)球, 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為
.
(1)求
時(shí) 的概率;(2)求
的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
19.(本小題滿分14分)
已知橢圓M的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線
的焦點(diǎn)是橢圓M的一個(gè)焦
點(diǎn),又點(diǎn)
在橢圓M上。
(I)求橢圓M的方程;
(II)已知直線l的方向向量為
與橢圓M交于B、C兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值。
20.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
,過該函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)![]()
(1)證明:
圖象上的點(diǎn)總在
圖象的上方;
(2)若
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
21.(本小題滿分14分)
已知數(shù)列
滿足:
,且
.求證:
(1)數(shù)列
為等比數(shù)列;(2)
.
(一)
一、選擇題
1~8:CAAD BBBD
二、填空題
9、
10、35
11、
12、
13、
14、10
15、驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image212.gif)
三、解答題
16、解:(1)由
及正弦定理有:
∴
或
……….2分
若
,且
,
∴
,
;
……….4分
∴
,則
,∴
三角形.
……….6分
(2)∵
,∴
,
∴
,而
,
……….8分
∴
,∴
,∴
.
……….12分
17解:(1)取
的中點(diǎn)驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image250.gif)
的中點(diǎn)
連結(jié)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image256.jpg)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image258.gif)
平面
,
.
又
, 驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image268.gif)
平面
.……………………………3分
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image272.gif)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image274.jpg)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image276.gif)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image274.jpg)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image278.gif)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image280.gif)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image274.jpg)
,
四邊形
是平行四邊形, 驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image288.gif)
平面
又
平面
,
平面
平面
………………………………6分
(2)過
作
于
,連結(jié)
.
由(1)中的平面驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image162.gif)
平面
知
面
,所以
在面
上的射影為
,所以
就是所求的角. …………………………………………9分
令正方體的棱長為
,所以
,所以
.
即
與平面
所成角的大小的正弦值為
. …………………………12分
18解:(1)
表示取出的三個(gè)球中數(shù)字最大者為3.
①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image323.gif)
②三取取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率
③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image327.gif)
∴
. ……………………………………………………7分
(2)在
時(shí), 利用(1)的原理可知:
,(
=1,2,3,4)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image172.gif)
1
2
3
4
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image338.gif)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image340.gif)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image342.gif)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image344.gif)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image346.gif)
的概率分布為:
=1×+2×+3×+4× = .………………………………………………7分
19、解:(I)由已知拋物線的焦點(diǎn)為驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image351.gif)
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image353.gif)
故所求橢圓方程為
…………6分
(II)設(shè)直線BC的方程為驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image357.gif)
代入橢圓方程并化簡得
…………9分
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image361.gif)
又點(diǎn)A到BC的距離為
, …………11分
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image365.gif)
所以△ABC面積的最大值為
…………14分
20解:(1)
,
設(shè)驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image371.gif)
為增,
當(dāng)驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image375.gif)
,
所以
圖象上的點(diǎn)總在
圖象的上方. …………………………6分
(2)當(dāng)
.
x
(-∞,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
F‘(x)
-
-
0
+
F(x)
減
減
e
增
①當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)(x)在x=1時(shí)有最小值e,
.
②當(dāng)x<0時(shí),F(xiàn)(x)為減函數(shù),
,
.
③當(dāng)x=0時(shí),
∈R.
由①②③,
恒成立的
的范圍是
. ……………………………………14分
21解:(1)由
得
驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image393.gif)
.
而
,所以
,
所以數(shù)列
為等比數(shù)列. …………………………………………4分
(2)由(1)有
. ……………………………………6分
所以
,
,……,
,累和得驗(yàn)學(xué)校高三模擬試卷(理數(shù)一).files/image409.gif)
. …8分
因?yàn)?sub>
,………………………………………………9分
所以
.
記
,用錯(cuò)位相減法得
,所以
.
所以
.
即當(dāng)
為奇數(shù)時(shí)命題成立.……………………………………………………………11分
又
,
所以
.即當(dāng)
為偶數(shù)時(shí)命題成立.
綜合以上得
.………………………………………………13分
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