題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
（一）
一、選擇題
1~8：CAAD BBBD
二、填空題
9、
10、35
11、
12、
13、
14、10
15、
三、解答題
16、解：（1）由
及正弦定理有：
∴
或
……….2分
若，且
，
∴
，
；
……….4分
∴
，則
，∴
三角形．
……….6分
（2）∵ 
，∴
，
∴
，而
，
……….8分
∴
，∴
，∴
．
……….12分
17解：（１）取
的中點
的中點
連結
平面
, 
.
又
, 
平面
．……………………………3分
,
四邊形
是平行四邊形, 
平面
又
平面
, 平面
平面 ………………………………6分
（２）過
作
于
，連結
．
由（１）中的平面
平面知
面，所以
在面
上的射影為
，所以
就是所求的角． …………………………………………9分
令正方體的棱長為
，所以
，所以
．
即與平面所成角的大小的正弦值為
． …………………………12分
18解：（１）
表示取出的三個球中數字最大者為3．
①三次取球均出現最大數字為3的概率
②三取取球中有2次出現最大數字3的概率
③三次取球中僅有1次出現最大數字3的概率
∴
． ……………………………………………………7分
（２）在
時, 利用（１）的原理可知：
,(
=1,2,3,4)
１
２
３
４
的概率分布為：
=1×＋2×＋3×＋4× = ．………………………………………………7分
19、解：（I）由已知拋物線的焦點為
故所求橢圓方程為
…………6分
（II）設直線BC的方程為
代入橢圓方程并化簡得
…………9分
又點A到BC的距離為
， …………11分
所以△ABC面積的最大值為
…………14分
20解：（１）
，
設
為增，
當
，
所以
圖象上的點總在
圖象的上方． …………………………6分
（２）當
．
x
（－∞，0）
（0，1）
1
（1，+∞）
F‘（x）
－
－
0
+
F（x）
減
減
e
增
①當x＞0時，F（x）在x=1時有最小值e，
．
②當x＜0時，F（x）為減函數，
，
．
③當x=0時，
∈R．
由①②③，
恒成立的的范圍是
． ……………………………………14分
21解：（１）由
得
．
而
，所以
，
所以數列
為等比數列． …………………………………………4分
（２）由（１）有
． ……………………………………6分
所以
，
，……，
，累和得
． …8分
因為
，………………………………………………9分
所以
．
記
，用錯位相減法得
，所以
．
所以
．
即當
為奇數時命題成立．……………………………………………………………11分
又
，
所以
．即當為偶數時命題成立．
綜合以上得
．………………………………………………13分
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