2008年河北省高中數學競賽試題
（時間：
一、 選擇題（本大題共6小題，每小題6分，滿分36分）
1．函數
的圖像過點（-1，3），則函數
的圖像關于
軸對稱的圖形一定過點（ ）．
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
2．把2008表示成兩個整數的平方差形式，則不同的表示方法有（ ）種．
A 4
B
3．若函數
有最小值，則a的取值范圍是（ ）．
A 
B 
C 
D 
4．已知
則
的最小值是（ ）．
A 
B
C
2
D 1
5．已知
，則
的取值范圍是（ ）．
A 
B 
C 
D 
6．函數是
上的單調遞增函數，當
時，
，且
，則
的值等于（ ）．
A 1 B
二、填空題（本大題共6小題，每小題9分，滿分54分）
7．設集合
，
是S的子集，且
滿足：
，
，那么滿足條件的子集的個數為 ．
8．已知數列
滿足
，則
=___ .
9．已知坐標平面上三點
，
是坐標平面上的點，且
，則點的軌跡方程為
．
10． 在三棱錐
中，
，
，
，
，
，
．則三棱錐體積的最大值為 ．
11． 從m個男生，n個女生（
）中任選2個人當組長，假設事件A表示選出的2個人性別相同，事件B表示選出的2個人性別不同．如果A的概率和B的概率相等，則（m，n）的可能值為 ．
12．
是平面上不共線三點，向量
，
，設P為線段AB垂直平分線上任意一點，向量
．若
，
，則
的值是
____
____．
三、解答題（本大題共5小題，每題的解答均要求有推理過程，13小題10分,17小題14分,其余每小題12分，滿分60分）
13．
是兩個不相等的正數，且滿足
，求所有可能的整數c,使得
.
14．如圖，斜三棱柱
的所有棱長均為
，側面
底面
，且
.
（1） 求異面直線
與
間的距離；
（2） 求側面
與底面所成二面角的度數．
15．設向量
為直角坐標平面內x軸，y軸正方向上的單位向量．若向量
，
，且
．
（1）求滿足上述條件的點
的軌跡方程；
（2）設
，問是否存在常數
，使得
恒成立？證明你的結論．
16．在數列
中，
，
是給定的非零整數，
．
（1）若
，
，求
；
（2）證明：從中一定可以選取無窮多項組成兩個不同的常數數列．
17． 設定義在[0，2]上的函數滿足下列條件：
①對于
，總有
，且
，
；
②對于
，若
，則
．
證明：（1）
（）；（2）
時，
．
一、 選擇題（本大題共6小題，每小題6分，滿分36分）
1．函數
的圖像過點（-1，3），則函數
的圖像關于
軸對稱的圖形一定過點（ ）．
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
答案：B.
2．把2008表示成兩個整數的平方差形式，則不同的表示方法有（ ）種．
A 4
B
答案：C.
解： 設
，即
．2008有8個正因數，分別為1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且
與
只能同為偶數，因此對應的方程組為
故
共有8組不同的值：
；
．
3．若函數
有最小值，則a的取值范圍是（ ）．
A 
B 
C 
D 
答案：C．
解：當時，
是遞減函數，由于
沒有最大值，所以沒有最小值；當
時，有最小值等價于有大于0的最小值．這等價于
，因此．
4．已知
則
的最小值是（ ）．
A 
B
C
2
D 1
答案：A.
解：記
，則
，
，（當且僅當
時取等號）．故選A．
5．已知
，則
的取值范圍是（ ）．
A 
B 
C 
D 
答案：D．
解：設
，易得
，即
．由于
，所以
，解得 
．
6．函數是
上的單調遞增函數，當
時，
，且
，則
的值等于（ ）．
A 1 B
答案：B
解：（用排除法）令
，則得
．
若
，則
，與矛盾；
若
，則
，與“在上單調遞增”矛盾；
若
，則
，也與“在上單調遞增”矛盾．
故選B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題9分，滿分54分）
7．設集合
，
是S的子集，且
滿足：
，
，那么滿足條件的子集的個數為 ．
答案：371．
解：當
時，
有
種選擇方法， 
有6種選擇方法，所以
共有
種選擇方法；當
時，一旦
取定，
有
種選擇方法，有
種選擇方法，所以選擇的方法有 
種．
綜上，滿足條件的子集共有371個．
8．已知數列
滿足
，則
=___ .
答案：
．
解：由已知得
，且
．
所以
，即{
}是首項、公差均為1的等差數列，所以=n，即有.
9．已知坐標平面上三點
，
是坐標平面上的點，且
，則點的軌跡方程為
．
答案：
.
解：如圖，作正三角形
，由于
也是正三角形，所以可證得 
≌
，所以
．
又因為
，所以點
共線．
，所以P點在的外接圓上，又因為
，所以所求的軌跡方程為
．
10． 在三棱錐
中，
，
，
，
，
，
．則三棱錐體積的最大值為
．
答案：
.
解：設
，根據余弦定理有
，
故
，
．由于棱錐的高不超過它的側棱長，所以
.事實上，取
，
且
時，可以驗證滿足已知條件，此時
，棱錐的體積可以達到最大．
11． 從m個男生，n個女生（
）中任選2個人當組長，假設事件A表示選出的2個人性別相同，事件B表示選出的2個人性別不同．如果A的概率和B的概率相等，則（m，n）的可能值為 ．
答案:（10，6）.
解：
，由于
，所以
，整理得
．即
是完全平方數，且
，因此
，
，解得 
（不合條件），
.
所以
．
12．
是平面上不共線三點，向量
，
，設P為線段AB垂直平分線上任意一點，向量
．若
，
，則
的值是
____
____．
答案:8．
解：如圖,
是線段AB的垂直平分線，
，
，
，
．
三、解答題（本大題共5小題，每題的解答均要求有推理過程，13小題10分,17小題14分,其余每小題12分，滿分60分）
13．
是兩個不相等的正數，且滿足
，求所有可能的整數c,使得
.
解：由得
,所以
,
由此得到
.
又因為
,故
.………………………4分
又因為
, 令 
則
.……………6分
當
時，
關于t單調遞增，所以
，
.
因此 
可以取1，2，3. …………………………………………………………………10分
14．如圖，斜三棱柱
的所有棱長均為
，側面
底面
，且
.
（1） 求異面直線
與
間的距離；
（2） 求側面
與底面所成二面角的度數．
解：（1）如圖，取
中點D，連
.
.
,
∴
.
由
.……………4分
∥ 
∥平面
.
所以異面直線與間的距離等于
.……………6分
（2）如圖，
………………………………..……8分
.……………………12分
15．設向量
為直角坐標平面內x軸，y軸正方向上的單位向量．若向量
，
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