北京先知文化中心2009屆高三模擬測試（二）
數學理科試題
（試卷總分150分 考試時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.）
1．的值是（ ）
A． B． C． D．
2．設，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，則與共線是與共線的（ ）
A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C．充要條件D． 既不充分也不必要條件
5．已知正項等差數列的前6項和為9，成等比數列，則數列的公差為（ ）
A． B． C．或 D． 或
6．若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則此雙曲線的離心率是( )
A. B. C. D.
7.設、為正實數，則下列不等式恒成立的是( )
①；②；③；④。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．設是展開式的中間項，若在區間上恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．函數的最小值是( )
A. B. C. D.
10．用平面截半徑為的球，若截面圓的內接正三角形的邊長亦為，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
11.設是函數的反函數，則與的大小關系為（ ）
A． B.
C． D
12．直線，將圓面分成若干塊，現用5種顏色給這若干塊涂色，每塊只涂一種顏色，且任意兩塊不同色，共有120種涂法，則m的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）
13．若實數滿足，則的最大值為 。
14．已知數列的前項和比集合的子集個數少１，則 。
15.如圖，正四面體中，是底面上的高，為的中點，則與所成角的余弦值為 。
16,已知點為的準線與軸的交點,點為焦點，點為拋物線上兩個點，若，則向量與的夾角為 。
三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．
17.(本小題滿分10分)
已知的內角的對邊分別為，其中，，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的面積。
18. (本小題滿分12分)
高中會考成績分A，B，C，D四個等級，其中等級D為會考不合格，某學校高三學生甲參加語文、數學、英語三科會考，三科會考合格的概率均為，每科得A，B，C，D 四個等級的概率分別為，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業證，求學生甲不能拿到高中畢業證的概率；
（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評為三好學生，則學生甲被評為三好學生的概率；
（Ⅳ）設為學生甲會考不合格科目數，求的分布列及的數學期望。
19．（本小題滿分12分）
已知函數（為常數）．
（Ⅰ）當時，求的極值；
（Ⅱ）若在定義域上是增函數，求實數的取值范圍.
20．(本小題滿分12分)
已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，∥，，，點、分別在棱、上，且平面，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正切值的大��；
（Ⅲ）求與平面所成角正切值的大小。
21．(本小題滿分12分)
已知雙曲線：的離心率為，過右焦點做漸近線：的平行線
交雙曲線與點，若，
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且
其中為原點，求的范圍。
22．(本小題滿分12分)
為數列的前項和且滿足，若，則
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和；
（Ⅲ）設，求證：。
1．解析：，故選A。
2．解析：∵
，
故選B。
3．解析：由，得，此時，所以，，故選C。
4．解析：顯然，若與共線，則與共線；若與共線，則，即，得，∴與共線，∴與共線是與共線的充要條件，故選C。
5．解析：設公差為，由題意得，；，解得或，故選C。
6．解析：∵雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，∴，又∵，∴，∴，∴雙曲線的離心率是。故選B.
7.解析：∵、為正實數，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因為函數在是增函數，∴，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵，∴在區間上恒成立，即在區間上恒成立，∴，故選D。
9．解析：∵
，此函數的最小值為，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形的邊長為，∴，∴，又∵，∴，故選D。
11．解析：∵在區間上是增函數且，∴其反函數在區間上是增函數，∴，故選A
12．解析：如圖，①當或時，圓面被分成2塊，涂色方法有20種；②當或時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是，故選A。
13．解析：做出表示的平面區域如圖，當直線經過點時，取得最大值5。
14.解析：∵，∴時，，又時，滿足上式，因此，，
∴。
15．解析：設正四面體的棱長為，連，取的中點，連，∵為的中點，∴∥，∴或其補角為與所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴與所成角的余弦值為。
16．解析：∵，∴，∵點為的準線與軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中為點到準線的距離，四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量與的夾角為。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分
∴，，………4分
（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分
又∵，∴，∴，………………………8分
∴�！�10分
18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為，∴學生甲不能拿到高中畢業證的概率；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為，∴學生甲被評為三好學生的概率為。……………………12分
∵，，，�！�9分
∴的分布列如下表：
0
1
2
3
∴的數學期望�！�12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）時，
，，
由得， 或 ………3分
+
0
－
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
， ………………………6分
（Ⅱ）在定義域上是增函數，
對恒成立，即
………………………9分
又（當且僅當時，）
………………………4分
20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴�！�4分
（Ⅱ）∵平面，∴，，∴為二面角的平面角，………………………6分
，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分
（Ⅲ）過點做∥，交于點，∵平面，∴為在平面內的射影，∴為與平面所成的角，………………………10分
∵，∴，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為�！�12分
解法2：如圖建立空間直角坐標系，（Ⅰ）∵，，∴點的坐標分別是，，，∴，，設，∵平面，∴，∴，取，∴，∴。………………………4分
（Ⅱ）設二面角的大小為，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小為�！�8分
（Ⅲ）設與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴與平面所成角的正切值為�！�12分
21.（Ⅰ） 解析：如圖，設右準線與軸的交點為，過點分別向軸及右準線引垂線，∵，∴，又∵ ∥，∴，………………………2分
∴，又∵，∴，又∵，解得，∴，∴雙曲線的方程為�！�4分
（Ⅱ）聯立方程組 消得：
由直線與雙曲線交于不同的兩點得：
即 于是 ，且 ………………①………………………6分
設、，則
……………………9分
又，所以，解得 ……………②
由①和②得 即 或
故的取值范圍為�！�12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴數列是等差數列，………………………2分
又∵，，∴公差為2，
∴，………………………4分
（Ⅱ）∵，∴，
∴數列是公比為2的等比數列，
∵，∴，………………………6分
（Ⅲ）∵，
∴………………………8分
∴………………………10分
∵，∴，又∵，∴………………………12分
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