題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)
設數列
的前
項和為
，且滿足
．
（Ⅰ）求
，
，
，
的值并猜想這個數列的通項公式
（Ⅱ）證明數列是等比數列．
(本小題滿分12分)
設數列
的前
項和為
，且滿足
．
（Ⅰ）求
，
，
，
的值并猜想這個數列的通項公式
（Ⅱ）證明數列是等比數列．
的前
項和為
，且滿足
．
，
，
，
的值并猜想這個數列的通項公式是等比數列．（本小題滿分12分）
數列
的前
項和記為
，
.
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）等差數列
的各項為正，其前項和為
且
,又
成
等比數列.
（1）求的通項公式；
（2）求證：當
時，
.
（本小題滿分12分）
數列
的前
項和為
且
．
（1）求數列的通項公式；
（2）等差數列
的各項均為正數，其前項和為
，
，又
成等比數列，求．
1．解析：，故選A。
2．解析：∵
，
故選B。
3．解析：由，得，此時，所以，，故選C。
4．解析：顯然，若與共線，則與共線；若與共線，則，即，得，∴與共線，∴與共線是與共線的充要條件，故選C。
5．解析：設公差為，由題意得，；，解得或，故選C。
6．解析：∵雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，∴，又∵，∴，∴，∴雙曲線的離心率是。故選B.
7.解析：∵、為正實數，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因為函數在是增函數，∴，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵，∴在區間上恒成立，即在區間上恒成立，∴，故選D。
9．解析：∵
，此函數的最小值為，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形的邊長為，∴，∴，又∵，∴，故選D。
11．解析：∵在區間上是增函數且，∴其反函數在區間上是增函數，∴，故選A
12．解析：如圖，①當或時，圓面被分成2塊，涂色方法有20種；②當或時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是，故選A。
13．解析：做出表示的平面區域如圖，當直線經過點時，取得最大值5。
14.解析：∵，∴時，，又時，滿足上式，因此，，
∴。
15．解析：設正四面體的棱長為，連，取的中點，連，∵為的中點，∴∥，∴或其補角為與所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴與所成角的余弦值為。
16．解析：∵，∴，∵點為的準線與軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中為點到準線的距離，四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量與的夾角為。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分
∴，，………4分
（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分
又∵，∴，∴，………………………8分
∴�！�10分
18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為，∴學生甲不能拿到高中畢業證的概率；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為，∴學生甲被評為三好學生的概率為。……………………12分
∵，，，。……………………9分
∴的分布列如下表：
0
1
2
3
∴的數學期望�！�12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）時，
，，
由得， 或 ………3分
+
0
－
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
， ………………………6分
（Ⅱ）在定義域上是增函數，
對恒成立，即
………………………9分
又（當且僅當時，）
………………………4分
20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴�！�4分
（Ⅱ）∵平面，∴，，∴為二面角的平面角，………………………6分
，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分
（Ⅲ）過點做∥，交于點，∵平面，∴為在平面內的射影，∴為與平面所成的角，………………………10分
∵，∴，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分
解法2：如圖建立空間直角坐標系，（Ⅰ）∵，，∴點的坐標分別是，，，∴，，設，∵平面，∴，∴，取，∴，∴�！�4分
（Ⅱ）設二面角的大小為，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小為�！�8分
（Ⅲ）設與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴與平面所成角的正切值為�！�12分
21.（Ⅰ） 解析：如圖，設右準線與軸的交點為，過點分別向軸及右準線引垂線，∵，∴，又∵ ∥，∴，………………………2分
∴，又∵，∴，又∵，解得，∴，∴雙曲線的方程為�！�4分
（Ⅱ）聯立方程組 消得：
由直線與雙曲線交于不同的兩點得：
即 于是 ，且 ………………①………………………6分
設、，則
……………………9分
又，所以，解得 ……………②
由①和②得 即 或
故的取值范圍為。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴數列是等差數列，………………………2分
又∵，，∴公差為2，
∴，………………………4分
（Ⅱ）∵，∴，
∴數列是公比為2的等比數列，
∵，∴，………………………6分
（Ⅲ）∵，
∴………………………8分
∴………………………10分
∵，∴，又∵，∴………………………12分
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