湖北省武漢市武昌區 2009屆高三年級五月調研測試
理 科 數 學 試 卷
2009.5.21
本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.
注意事項:
1.答卷前,考生務必將自已的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準
考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題選出答案后，有2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改
動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。非選擇題用黑色墨水的簽字筆直接答在
答題卡上。答在試題卷上無效。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互獨立，那么
如果事件A在一次試驗中發生的概率是
，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
球的表面積公式
，其中
表示球的半徑
球的體積公式
，其中表示球的半徑
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知I為實數集，集合
，則
=（ ）
A.
B.
C.
D.
2．復數
的共軛復數的平方為（ ）
A.1+2
i B.3+2i C.-1-2i D.-1+2i
3．函數f(x)在點x=x0處有定義是f(x)在點x=x0處有極限的（ ）
A.充分條件，但不是必要條件 B.必要條件，但不是充分條件
C.充要條件 D.既非充分也非必要的條件
4．已知直線
按向量
平移后得到的直線
與圓
相切，那么
的值為（ ）
A.
或1 Ｂ．0或
Ｃ．
或7 Ｄ．
或
5．如圖,P為△OAB所在平面上一點，
, 且P在線段AB的垂直平分線上,向量
,若 
,則
=( )
A. 
B. 
D.
6．已知等比數列
的公比為
，其前
項和為
，若
成等差數列，則
等于（ ）
A．
B．或1
D.或
7．設f(x)為可導函數，且滿足
,則過曲線y=f(x)上一點
處的切線斜率為( )
A.4 B
D.
8．設a，b，m為正整數，若a和b除以m的余數相同，則稱a和b對m同余． 記作
，已知
，則b的值可以是（ ）
A． 1012 B．
9.如圖，已知球
是棱長為2 的正方體 
的內切球，則平面
截球的截
面面積為 （ ）
A．
B．
C．
D． 
10．已知點P是橢圓
上的動點，F
、F
分別為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，則
的取值范圍（ ）
A.[0，
] B. [0，
] C. [0，2 ） D. 
二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡相應位置上.
11．雙曲線
的焦點坐標為
.
12．已知角
滿足條件
，則
的值為
.
13若
表示的平面區域是三角形，則實數
的取值范圍是
.
14．某次抽樣調查結果表明，考生的成績(百分制)近似服從正態分布,平均成績為72分，96分以上的考生占考生總數的2.3%，則考生成績在60至84分之間的概率為 . （參考數據：
=0.8413，
=0.9770，
=0.9987）
15．設函數
使關于
的不等式
在
至少存在一個解，則實數的取值范圍為
三.解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
已知
，
，其中
，設函數
.
（1）求函數
的單調增區間；
（2）若關于
的方程
有兩相異實根，求實數的取值范圍.
17．（本小題滿分12分）
為了迎接中華人民共和國建國60周年，中央電視臺為慶典擬舉辦一期選拔節目,選拔一批素質較為過硬的群眾參加天安門城樓的義務服務工作，假定符合參加選拔條件的每個選手還需要進行四輪考核,每輪設有一個問題,能正確回答問題者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為
,
,
,
,且各輪問題能否正確回答互不影響.
（2）該選手在選拔過程中回答過的問題的總個數記為
,求隨機變量的分布列與數學期望.
18．（本小題滿分12分）
如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP
AB， AB=BC=
，D是AP的中點，E，F，G分別為PC、PD、CB的中點，將
沿CD折起，使得
平面ABCD．
（1）求證：AP//平面EFG；
(2) 求
與平面
所成角的大小.
（3）求二面角
的大小.
19．（本小題滿分12分）
已知點
，點
在
軸上，點
在
軸正半軸上，點
滿足
，
．
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）已知點
，若過點
的動直線
交軌跡于
兩點，直線
交軌跡于另一點
，證明直線
恒過一個定點，并求出定點坐標．
20．（本小題滿分13分）
已知
.
（1）當a>0時，判斷f(x)在定義域上的單調性；
（2）若f(x)在[1,e]上的最小值為
，求a的值；
（3）若f(x)<x
在(1,+
)上恒成立，試求a的取值范圍.
21．（本小題滿分14分）
把正奇數列
中的數按上小下大,左小右大的原則排列成如圖“三角形”所示的數表.設
是位于這個三角形數表中從上往下數第
行,從左向右數第
個數.
（1）若
,求
的值;
（2）已知函數
的反函數為
,
),若記三角形數表中從上往下數第
行各數的和為
.①求數列
的前項的和
.②令
的前項之積為
,求證:
且當
或
時,
.當
時,
. …………………………10分
結合圖象可知所求的取值范圍為
. ……………………………………12分
17．解:(1)記“該選手能正確回答第
輪問題”的事件為
,
則
.
該選手進入第四輪才被淘汰的概率:
.……………6分
(2)由題意
的所有可能取值分別是1, 2, 3, 4,且
,
，
方法二： 連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO．
∵E,F分別為PC,PD的中點,
∴
//
,同理
//
又
//AB,
//
平面EFG//平面PAB.
又PA
平面PAB,
平面EFG．………………………………………4分
（2）由已知底面ABCD是正方形， 
.
又∵
面ABCD，
.
又
,
平面PCD,
.
過點F作
于
,則
.
連結
,則
為直線
與平面
所成的角. …………………6分
由
∽
,得
.在
中求得
.
而
，
，
.
.即動點
的軌跡
的方程為
.…………4分
（2）設點
，
，
.
三點共線，
，即
.
即
，
. ………………………………………6分
三點共線，
，即
.
，即
.
=f(e)=1-
=
,得a=
(舍去). …………………………………6分
③若
即-e<a<-1，則在（1,
）上為減函數,在（,e）上為增函時數.=f(-a)=
=,得
.
綜上知a=-
.……………………………………………………………………8分
（3）由
,得
.
令
,則
.
于是
.由
知
.
在
上單調遞減,從而
.
所以
在上單調遞減,于是
∴
. ………………………………………………………8分
②
,
即證:
. …………………………………10分
先證:
.
1°
時,顯然成立.
2°假設
時,
.
則
時，
,即當時,也成立.
由1°2°知成立.
從而
. ………………………………………14分
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