江西省吉安市2009屆高三第一次模擬考試
文 科 數 學
吉安一中 賀姓芳
命題人： 審校：吉安市教研室 杜小許
吉水二中 王躍興
本試卷第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共150分．
第Ⅰ卷
考生注意：
1、答題前，考生務必將自己的準考證號。姓名填寫在答題卡上．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致。
2、第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效。
3、考試結束，監考員將試題卷、答題卡一并收回。
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么 球的表面積公式
如果事件、相互獨立，那么 其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發生的概率是
，那么 
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知
，
，
，則
A．
B．
C．
D．
2．已知數列
為等差數列，且
，則
A．
B．
C．
D．
3．設函數
，且
的圖象過點
，則
A．
B．
C．
D．
4．將函數
的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的
倍，再向右平移
個單位，得到的函數的一個對稱中心是
A．
B．
C．
D．
5．復數
，且
，則
的值
A．
B．
C．-
D．
6．設二項式 
的展開式中各項系數之和為
，二項式
的展開式中各項的二項式系數之和為
，且點
在直線
上，則
A． B．
C．
D．
7 一個棱錐被平行于底面的截面截成一個小棱錐(記為
)和另一個幾何體(記為
)，若的體積為
，的體積為
，則關于的函數圖象大致形狀為
8．若方程
表示雙曲線，則它的焦點坐標為
A．
B．
C．
D．由
決定
9已知直線
及
與函數
的圖象的交點分別為
，與函數
的圖象的交點分別為
，則直線
與
A．平行 B．相交且交點在第二象限
C．相交且交點在第三象限 D．相交且交點是原點
≥
10．設二元一次不等式組所 
≥ 表示的平面區域為
，使函數
≤
的圖象過區域的
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
11．連續擲骰子兩次得到的點數分別為
，作向量
，則與向量
的夾角成為直角三角形內角的概率是
A．
B．
C．
D．
12．已知
，且
則的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
吉安市高三第一次模擬考試
理 科 數 學
第Ⅱ卷
注意事項：
第Ⅱ卷2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。請把答案填在答題卡上。
13．某工廠生產
三種不同型號的產品，產品數量之比為
，現用分層抽樣的方法抽出一個容量為
的樣本，樣本中
型產品有
件，則此樣本的容量=_________________。
14．已知
滿足
且≥2
，若
則
_______________。
15．在體積為
的球的表面上有三點，
。
兩
點的球面距離為
，則
______________。
16．給出下列命題：
①不存在實數
使
的定義域、值域均為一切實數；
②函數
圖象與函數
圖象關于直線對稱；
③函數
有且只有一個實數根；
④
是方程
表示圓的充分必要條件。
其中真命題的序號是______________________。(寫出所有真命題的序號)
三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。
17．(本小題滿分12分)
已知向量
，
，定義函數
(1)求
的最小正周期
；
(2)若
的三邊長
成等比數列，且
，求邊所對角以及
的大小。
18．(本小題滿分12分)
等差數列的公差不為零，
成等比數列，數列
滿足：
※
(1) 求數列、的通項公式；
(2) 求數列
的前項和
。
19．(本小題滿分12分)
一個盒子裝有完全相同的6張卡片，上面分別寫著如下6個定義域均為R的函數：
。
(1)從盒子中隨機取出2張卡片，將卡片上的兩個函數相加得一個新的函數，求所得函數是偶函數的概率；
(2)從盒子中不放回地取卡片，每次取出一張，直至寫有奇函數的卡片被全部取出為止，求抽取次數恰為3的概率。
20．(本小題滿分12分)
如圖，在直四棱柱
中，
為
中點，點
在
上。
(1)試確定點的位置，使
；
(2)當時，求二面角
的正切值。
21．(本小題滿分12分)
已知函數
≥
(1) 若函數
的極小值為
，求集合
≥
；
(2) 對于(1)中集合
，任取
，函數在區間
都是增函數，求的取值范圍。
22．(本小題滿分14分)
已知橢圓
與拋物線
的交點分別為
，如圖所示，
(1)若
的焦點恰好是
的上焦點
，且；過點
，求的離心率；
(2)設
且拋物線在點處的切線
與軸的交點為
，求
的最小值和此時橢圓的方程。
吉安市高三第一次模擬考試理科數學試卷
一、選擇題(5分×12=60分)
B B D D C B B D D C A A
二、填空題(4分x 4=16分)
13．80 14．32 15．
16．①③
三、解答題(12分×5+14分=74分)
17．解：(1)
2分
……………………4分
∴
的最小正周期為
…………………6分
(2)∵
成等比數列 ∴
又
∴
……………………………………4分
又∵
∴
……………………………………………………10分
……………………………………12分
18．解：(1)設
公差
由
成等比數列得
…………………1分
∴即
∴
舍去或
…………………………3分
∴
………………………………………………4分
∴
………………………………………………6分
(2) ∵
………………………………………………7分
∴
…①
…………8分
…………②
…………9分
①-②得：
∴
………………………………………………12分
19．解：(1)記“任取2張卡片，將卡片上的函數相加得到偶函數”為事件A，
……………………………………………………4分
(2)設符合題設條件，抽取次數恰為3的事件記為B，則
………………………………………………12分
20．解：(1)連結
為正△
…1分
面
3分
面
面
即點
的位置在線段
的四等分點且靠近
處 ………………………………………6分
(2)過
作
于
，連
由(1)知面
(三垂線定理)
∴
為二面角
的平面角……9分
在
中，
在
中，
∴二面角的大小為
………………………………………12分
(說明：若用空間向量解，請參照給分)
21．解：(1)
由
得
……2分
①當
時，
在
內是增函數，故無最小值………………………3分
②當
時，
在
處取得極小值
………………………5分
由
解得：
≤
∴
≤
…………6分
≥
(2)由(1)知在區間
上均為增函數
又
，故要在
內為增函數
≤
≥
必須： 或 ………………………………………10分
≤ ≤
∴≤
或≥
∴實數的取值范圍是：
…………………12分
22．解：(1)如圖，設
為橢圓的下焦點，連結
∴
∵
∴
…3分
∵
∴
………4分
∴
的離心率為
…………………………………………………………6分
(2)∵
，∴拋物線方程為：
設點
則
∵
∴點處拋物線
的切線斜率
……………………………………………………8分
則切線
方程為：
……………………………………………………9分
又∵過點
∴
∴
∴
代入橢圓
方程得：
……………………………………………………11分
∴
≥
………………13分
當且僅當 即 上式取等號
∴此時橢圓的方程為：
………………………………………………14分
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