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湖南省長(zhǎng)沙市一中2009年高三第二次模擬試卷

理科數(shù)學(xué)

命題：長(zhǎng)沙市一中高三理科備課組

時(shí)量：120分鐘滿分：150分

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．設(shè)a + bi=(a，b∈R)，則P(a，b)在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

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2．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果～N(2，)(＞0)，若在(0，2)內(nèi)取值的概率為0.4，則在(0，4)內(nèi)的概率為（）

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A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2

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3．已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，且= （）

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A． B． C．－3 D．3

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4．等差數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項(xiàng)和，，則的值為（）

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A．2 B．1 C． D．3

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5．能夠使圓恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1的c的

一個(gè)值為（）

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A． B．　　C．2 　　　D．3

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6．函數(shù)y = f (x)是圓心在原點(diǎn)的單位圓的兩段圓�。ㄈ鐖D），則不等式f(x)＞f (?x) + x的解集為（）

A．{x|或}

B．{x|或}

C．{x|或}

D．{x|且x≠0}

7．在直角坐標(biāo)平面上，=（1，4），=（?3，1）且與在直線l上的射影長(zhǎng)度相等，直線l的傾斜角為銳角，則l的斜率為（）

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A． B． C． D．

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8．f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)；不等式f (ax + 1)≤f (x ?2)對(duì)x∈[，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．[?2，0] B．[?5，0] C．[?5，1] D．[?2，1]

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二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分.把答案填寫在答題卷中對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上）

9．展開式中x³的系數(shù)為．

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10．為配制某種染色劑，需要加入三種有機(jī)染料，兩種無(wú)機(jī)染料和兩種添加劑，其中有機(jī)染料的添加順序不能相鄰，現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊�，總共要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為（用數(shù)字作答）

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11．當(dāng)x、y滿足約束條件（k為常數(shù)）時(shí)，能使z = x + 3y的最大值為12的k值為．

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12．已知拋物線y² = 16x，橢圓，則兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)a的最小值為．

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13．如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，已知△A′ED是△AED繞邊DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：

①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；

②恒有平面A′GF⊥平面BCED；

③三棱錐A′―FED的體積有最大值；

④異面直線A′E與BD不可能垂直．

其中正確命題的序號(hào)是．

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14．對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[]= 3，[?1.08] = ?2，定義函數(shù)f(x) = x ?[x]．

（i）f(x) 的值域是　　　；

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（ii）的最小正周期為　　　　　　．

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15．如圖所示，一個(gè)粒子在第一象限及坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(0，1)，然后它接著按圖所示在x軸、y軸的平行方向來(lái)回運(yùn)動(dòng)（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度．（i）粒子運(yùn)動(dòng)到（4，4）點(diǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)了秒；（ii）第2009秒時(shí)，粒子所處的位置為．

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三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

16．某人隨機(jī)地將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)大小相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)型號(hào)相同的盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)球，當(dāng)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同時(shí)叫做“放法恰當(dāng)”，否則叫做“放法不恰當(dāng)”．設(shè)放法恰當(dāng)?shù)那闆r數(shù)為隨即變量．

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）求的期望與方差．

17．已知向量，向量，

(Ⅰ)若，且，求實(shí)數(shù)的最小值及相應(yīng)的值；

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(Ⅱ)若，且, 求的值.

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18．如圖，在邊長(zhǎng)為12的正方形A₁ AA′A₁′中，點(diǎn)B、C在線段AA′上，且AB = 3，BC = 4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點(diǎn)B₁、P；作CC₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點(diǎn)C₁、Q；將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A₁′ 與AA₁重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱ABC―A₁B₁C₁，在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，

（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC₁B₁；

（Ⅱ）求面PQA與面ABC所成的銳二面角的大�。�

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（Ⅲ）求面APQ將三棱柱ABC―A₁B₁C₁分成上、下兩部分幾何體的體積之比．

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19．據(jù)中新網(wǎng)2009年4月9日電，日本鹿兒島縣櫻島昭和火山口當(dāng)?shù)貢r(shí)間9日下午3點(diǎn)31分發(fā)生中等規(guī)模爆發(fā)性噴火，鹿兒島市及周邊飛揚(yáng)了大量火山灰．火山噴發(fā)停止后，為測(cè)量的需要距離噴口中心50米內(nèi)的圓環(huán)面為第1區(qū)、50米至100米的圓環(huán)面為第2區(qū)、100米至150米的圓環(huán)面為第3區(qū)、……、第50（n－1）米至50n米的圓環(huán)面為第n區(qū)，……，現(xiàn)測(cè)得第1區(qū)火山灰平均每平方米為1噸、第2區(qū)每平方米的平均重量較第1區(qū)減少2%、第3區(qū)較第2區(qū)又減少2%，……，以此類推．

（Ⅰ）若第n區(qū)每平方米的重量為a_n千克，請(qǐng)寫出a_n的表達(dá)式；

（Ⅱ）第幾區(qū)內(nèi)的火山灰總重量最大？

（Ⅲ）該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量為多少萬(wàn)噸（p 取3，結(jié)果精確到萬(wàn)噸）？

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20．如圖所示，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線x² ? y² = 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y = kx + b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．

（Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式；

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（Ⅱ）當(dāng)，且滿足2≤m≤4時(shí)，求△AOB面積的取值范圍．

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21．設(shè)函數(shù)f (x) =(b，c∈N^*)，若方程f(x) = x的解為0，2，且f (?2)＜?．

（Ⅰ）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

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（Ⅱ）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{a_n}滿足4S_n?f () = 1，其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和．

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求證：．

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一、選擇題

題號(hào)

答案

4．【解析】{a_n}為等差數(shù)列，則{}也為等差數(shù)列且其公差d = 1,

∴，∴=．

5．【解析】圓方程可化為，則圓心到直線的距離，當(dāng)1＜d＜3時(shí)，則圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，＜|c|＜，故選D.

6．【解析】y = f(x)是奇函數(shù)，由f(x)＞f (?x) + x得f(x)＞，數(shù)形結(jié)合．

7．【解析】設(shè)l過(guò)原點(diǎn)，取線段AB的中點(diǎn)M(?1，)，則OM⊥l，∴k_l =．

8．【解析】∵f(x)是偶函數(shù)且f(x)在[0，+∞)是增函數(shù)

∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立，x∈[，1]．

∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x

即．

二、填空題

9．【解析】，令有r = 2，∴．

10．【解析】= 1440．

11．【解析】求出交點(diǎn)代入求出k并驗(yàn)證得k = ?9．

12．【解析】易求：拋物線焦點(diǎn)F(4，0)，準(zhǔn)線L：x = ? 4．橢圓焦點(diǎn)F(4，0)、 F′(4，4)，如圖所示．

所以F為兩曲線之公共焦點(diǎn)．

設(shè)兩曲線交于點(diǎn)A，則

所以當(dāng)H、A、F′共線時(shí)，2a有最小值，從而a也達(dá)到最小，此時(shí)，y_A = y_F = 4，代入y² = 16x 得x_A = 1，再以A(1，4)代入橢圓得：a² = 16，從而a = 4．

13．【解析】①在平面A′FA內(nèi)過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥AF，垂足為H，由DE⊥AF，DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA．故DE⊥A′H，∴A′H⊥平面ABC，即A′在平面ABC上的射影在線段AF上．

②由①得；

③由①知：當(dāng)A′H與A′G重合時(shí)，三棱錐A′―FED的體積有最大值；

④用反證法：假設(shè)A′E與BD垂直，由①知A′H⊥BD，∴BD⊥面A′HE，EH⊥BD．

∴當(dāng)EH⊥BD時(shí)，可證A′E⊥BD．

故①②③正確．

14．【解析】當(dāng)n≤x＜n + 1(n∈Z)時(shí)，y = f(x) = x ? n，

顯然有0≤x ? n＜1，即0≤y＜1，

也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x)．如圖．

答案為：［0，1）；1

15．【解析】（i）20；

（ii）將粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡定義為數(shù)對(duì)（i，j）

則它的運(yùn)動(dòng)整點(diǎn)可排成數(shù)表

（0，0）

（0，1）（1，1）（1，0）

（0，0）（2，1）（2，2）（1，2）（0，2）

（0，3）（1，3）（2，3）（3，3）（3，2）（3，1）（3，0）

（4，0）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（3，4）（2，4）（1，4）（0，4）

通過(guò)推并可知：經(jīng)過(guò)2 = 1×2s，運(yùn)動(dòng)到（1，1）

經(jīng)過(guò)6 =2×3s，運(yùn)動(dòng)到（2，2）

經(jīng)過(guò)12 =3×4s，運(yùn)動(dòng)到（3，3）

∴經(jīng)過(guò)44×45 = 1980s，運(yùn)動(dòng)到（44，44）

再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)29s，到達(dá)點(diǎn)（15，44）．

三、解答題

16．【解析】（1）= 0，1，2，4．（1分）

P(= 4) =

P(= 2) =

P(= 1) =

P(= 0) = 1?P(= 1) ?P(= 2) ?P(= 4) = （7分）

∴的分布列為

（9分）

∴E=，

D= (0 ? 1)²×+ (1 ? 1)²×+(2 ? 1)²×+(4 ? 1)²×= 1 （12分）

17．【解析】（Ⅰ）∵，∴= 0，（2分）

∴，（4分）

又∵∈R，∴時(shí)，m_min = ?2.

又，所以（6分）

（Ⅱ）∵，且,∴ （8分）

∴

∴ （10分）

（12分）

18．【解析】（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5

∵AC² = AB² + BC²

∴AB⊥BC

又AB⊥BB₁

且BC∩BB₁ = B

∴AB⊥面BCC₁B₁ （4分）

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系

則A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)

設(shè)面APQ的法向量為= (x，y，z)

= (1，?1，1)

而面ABC的法向量可以取= (0，0，1)

∴

∴面PQA與面ABC所成的銳二面角為arccos．（8分）

（Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．

∴S_{四邊形BCQP} =

∴V_A_―BCQP =×20×3 = 20

又∵V=．

∴．（12分）

19．【解析】（Ⅰ）（）．　　　　（2分）

（Ⅱ）設(shè)第n區(qū)內(nèi)的面積為b_n平方米，

則．　　　　　　　　　　　　　�。�4分）

則第n區(qū)內(nèi)火山灰的總重量為

（噸）（萬(wàn)噸）　　　（6分）

設(shè)第n區(qū)火山灰總重量最大，則

解得 ∴n =50.

即得第50區(qū)火山灰的總重量最大. （9分）

（Ⅲ）設(shè)火山噴發(fā)的火山區(qū)灰總重量為S萬(wàn)噸，

則

設(shè)

則 ①

∴ ②

①－②得

∴ （12分）

∵0＜q＜1，∴（萬(wàn)噸）

因此該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量約為3712萬(wàn)噸．（13分）

20．【解析】（Ⅰ）因?yàn)閳AO的方程為x² + y² = 2，所以d =，

可得b² = 2(k² + 1)(k≠±1)．（4分）

（Ⅱ）設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由，

所以，（7分）

所以=

=，

因?yàn)閨AB| =×=，

O到AB的距離，（11分）

所以

=∈．（13分）

21．（Ⅰ）【解析】

．　　　　�。�2分）

由f (?2) =

又∵b，c∈N^* ∴c = 2，b = 2

∴f (x) =．（4分）

令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2

令f′(x)＜0得：0＜x＜2

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（?∞，0），（2，+∞）

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（1，2）．（6分）

（Ⅱ）證明：由已知可得：2S_n = a_n ? ，

兩式相減得：(a_n + a_n_{? 1}) (a_n ? a_n_{? 1}+1) = 0 （n≥2）

∴a_n = ?a_n _?1或a_n ?a_n_?1 = ?1 （7分）

當(dāng)n =1 時(shí)，2a₁ = a₁ ?

若a_n = ?a_n_?1，則a₂ = ?a₁ = 1與a_n≠1矛盾．

（定義域要求a_n≠1）

∴a_n ? a_n_?1 = 1，∴a_n= ?n．（8分）

要證的不等式轉(zhuǎn)化為

先證不等式

令g (x) = x ?ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) ? （10分）

則g′(x) =，h′(x) =

∵x＞0 ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0

∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上

∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) = 0 （12分）

∴

故，即．（13分）

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