題目列表(包括答案和解析)
如圖，在邊長為12的正方形A1 AA′A1′中，點B、C在線段AA′上，且AB = 3，BC = 4，作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點B1、P；作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q；將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A1′ 與AA1重合，構成如圖所示的三棱柱ABC—A1B1C1，在三棱柱ABC—A1B1C1中， （Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC1B1； （Ⅱ）求面PQA與面ABC所成的銳二面角的大小．（Ⅲ）求面APQ將三棱柱ABC—A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比．
 | |||
 | |||
如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A1′A1中，點B，C在線段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點B1、P，作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A1′與AA1重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
C
C
A
4．【解析】{an}為等差數列，則{
}也為等差數列且其公差d
= 1,
∴
，∴
=
．
5．【解析】圓方程可化為
，則圓心到直線的距離
，當1＜d＜3時，則圓上恰有兩個點到直線的距離等于1，
＜|c|＜
，故選D.
6．【解析】y
= f(x)是奇函數，由f(x)＞f (?x) + x得f(x)＞
，數形結合．
7．【解析】設l過原點，取線段AB的中點M(?1，
)，則OM⊥l，∴kl =
．
8．【解析】∵f(x)是偶函數且f(x)在[0，+∞)是增函數
∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立，x∈[
，1]．
∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x
即
．
二、填空題
9．【解析】
，令
有r = 2，∴
．
10．【解析】
= 1440．
11． 【解析】求出交點
代入求出k并驗證得k = ?9．
12．
【解析】易求：拋物線焦點F(4，0)，準線L：x = ? 4．橢圓焦點F(4，0)、 F′(4，4)，如圖所示．
所以F為兩曲線之公共焦點．
設兩曲線交于點A，則
所以當H、A、F′共線時，2a有最小值，從而a也達到最小，此時，yA = yF = 4，代入y2 = 16x 得xA = 1，再以A(1，4)代入橢圓得：a2 = 16，從而a = 4．
13．【解析】①在平面A′FA內過點A′作A′H⊥AF，垂足為H，由DE⊥AF，DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA．故DE⊥A′H，∴A′H⊥平面ABC，即A′在平面ABC上的射影在線段AF上．
②由①得；
③由①知：當A′H與A′G重合時，三棱錐A′―FED的體積有最大值；
④用反證法：假設A′E與BD垂直，由①知A′H⊥BD，∴BD⊥面A′HE，EH⊥BD．
∴當EH⊥BD時，可證A′E⊥BD．
故①②③正確．
14．【解析】當n≤x＜n + 1(n∈Z)時，y = f(x) = x ? n，
顯然有0≤x ? n＜1，即0≤y＜1，
也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x)．如圖．
答案為：［0，1）；1
15．【解析】（i）20；
（ii）將粒子的運動軌跡定義為數對（i，j）
則它的運動整點可排成數表
（0，0）
（0，1） （1，1） （1，0）
（0，0） （2，1） （2，2） （1，2） （0，2）
（0，3） （1，3） （2，3） （3，3） （3，2） （3，1） （3，0）
（4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3，4） （2，4） （1，4）（0，4）
通過推并可知：經過2 = 1×2s，運動到（1，1）
經過6 =2×3s，運動到（2，2）
經過12 =3×4s，運動到（3，3）
∴經過44×45 = 1980s，運動到（44，44）
再繼續運動29s，到達點（15，44）．
三、解答題
16．【解析】（1）
= 0，1，2，4．
（1分）
P(=
4) =
P(=
2) =
P(=
1) =
P(=
0) = 1?P(=
1) ?P(=
2) ?P(=
4) =
（7分）
∴的分布列為
0
1
2
4
P
（9分）
∴E=
，
D=
(0 ? 1)2×+ (1 ? 1)2×+(2 ? 1)2×+(4 ? 1)2×= 1
（12分）
17．【解析】（Ⅰ）∵
，∴
= 0，
（2分）
∴
，
（4分）
又∵
∈R，∴
時，mmin = ?2.
又
，所以
（6分）
（Ⅱ）∵
，且
,∴
（8分）
∴
∴
（10分）
（12分）
18．【解析】（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5
∵AC2 = AB2 + BC2
∴AB⊥BC
又AB⊥BB1
且BC∩BB1 = B
∴AB⊥面BCC1B1 （4分）
（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系
則A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)
設面APQ的法向量為
= (x，y，z)
= (1，?1，1)
而面ABC的法向量可以取
= (0，0，1)
∴
∴面PQA與面ABC所成的銳二面角為arccos
．
（8分）
（Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．
∴S四邊形BCQP
=
∴VA―BCQP
=×20×3 = 20
又∵V
=
．
∴
．
（12分）
19．【解析】（Ⅰ）
（
）． （2分）
（Ⅱ）設第n區內的面積為bn平方米，
則 
． （4分）
則第n區內火山灰的總重量為
（噸）
（萬噸） （6分）
設第n區火山灰總重量最大，則
解得
∴n =50.
即得第50區火山灰的總重量最大. （9分）
（Ⅲ）設火山噴發的火山區灰總重量為S萬噸，
則
設
則
①
∴
②
①－②得
∴
（12分）
∵0＜q＜1，∴
（萬噸）
因此該火山這次噴發出的火山灰的總重量約為3712萬噸． （13分）
20．【解析】（Ⅰ）因為圓O的方程為x2 + y2
= 2，所以d
=
，
可得b2 = 2(k2 + 1)(k≠±1)． （4分）
（Ⅱ）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
，
所以
，
（7分）
所以
=
=
，
因為|AB| =
×
=
，
O到AB的距離
，
（11分）
所以
=
∈
．
（13分）
21．（Ⅰ）【解析】
．
（2分）
由f (?2) =
又∵b，c∈N* ∴c = 2，b = 2
∴f (x) =
．
（4分）
令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2
令f′(x)＜0得：0＜x＜2
∴f(x)的單調遞增區間為（?∞，0），（2，+∞）
f(x)的單調遞減區間為（0，1），（1，2）． （6分）
（Ⅱ）證明：由已知可得：2Sn = an ? 
，
兩式相減得：(an + an ? 1) (an ? an ? 1+1) = 0 （n≥2）
∴an = ?an ?1或an ?an?1 = ?1 （7分）
當n =1 時，2a1 = a1 ?
若an = ?an?1，則a2 = ?a1 = 1與an≠1矛盾．
（定義域要求an≠1）
∴an ? an?1 = 1，∴an = ?n． （8分）
要證的不等式轉化為
先證不等式
令g (x) = x ?ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) ?
（10分）
則g′(x) =
，h′(x) =
∵x＞0 ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0
∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上
∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) = 0 （12分）
∴
故
，即
．
（13分）
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