湖北省黃岡中學2008屆高三第一次模擬考試
數 學 試 題（理科）
第Ⅰ卷(選擇題 共50分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1．命題p：|x|<1，命題q：
，則
是
成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．如圖，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包含邊界），設
，且點P落在第Ⅲ部分，則實數m、n滿足（ ）
A．m>0, n>0 B．m>0, n<
3．設復數
，則
展開式的第五項是（ ）
A．-2i B．-21i C．35 D．-35i
4．各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為
，若
，則
等于（ ）
A．16 B．
5．已知函數
在
上單調遞增，且在這個區間上的最大值為
，則實數
的一個值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．點P在直徑為
的球面上，過P作兩兩互相垂直的三條弦（兩端點均在球面上的線段），若其中一條弦長是另一條弦長的2倍，則這三條弦長之和的最大值是（ ）
A．6 B．
C．
D．
7．過雙曲線M：
的左頂點A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C，且|AB|=|BC|，則雙曲線M的離心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．設奇函數f(x)在[-1，1]上是增函數，且
，若函數
對所有的
都成立，則當
時，t的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
中，AB=2，BC=1，
，平面ABC外一點P滿足PA=PB=PC=2，則三棱錐P―ABC的體積是（ ）
A． B．
C．
D．
10．已知
，則滿足條件
的點（x, y）所形成區域的面積為（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的相應位置上.)
11．定義一種運算“*”，它對正整數n滿足：
（1）2*1001=1；
（2）
. 則2008*1001的值是________________.
12．由0，1，2，3，4，5六個數字可以組成_______個數字不重復且2，3相鄰的四位數（用數字填空）.
13．有一解三角形的題因紙張破損，有一條件不清，且具體如下：在中，已知
，____________，求角A. 經推斷破損處的條件為三角形一邊的長度，且答案提示A=60°，試將條件補充完整.
14．設f(x)是定義在R上的奇函數，在
上有
且
，則不等式
的解集為_________.
15．關于函數
（a為常數，且a>0）對于下列命題：
①函數f(x)的最小值為-1； ②函數f(x)在每一點處都連續；
③函數f(x)在R上存在反函數； ④函數f(x)在x=0處可導；
⑤對任意的實數x1<0, x2<0且x1<x2，恒有
.
其中正確命題的序號是_____________.
三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
16．(本小題滿分12分)一個袋子中裝有m個紅球和n個白球（m>n≥4），它們除顏色不同外，其余都相同，現從中任取兩個球.
（1）若取出兩個紅球的概率等于取出一紅一白兩個球的概率的整數倍，求證：m必為奇數；
（2）若取出兩個球顏色相同的概率等于取出兩個顏色不同的概率，求滿足m+n≤20的所有數組（m, n）.
17．(本小題滿分12分)已知A、B、C為的三個內角，向量
，且
（1）求
的值；
（2）求C的最大值，并判斷此時的形狀.
18．(本小題滿分12分)隨著機構改革的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現有職員2a人（140<2a<420，且a為偶數），每人每年可創利b萬元. 據評估，在經營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創利0.01b萬元，但公司需付下崗職員每人每年0.4b萬元的生活費，并且該公司正常運轉所需人數不得小于現有職員的
. 為獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？
19．(本小題滿分12分)四棱錐S―ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面
底面ABCD. 
已知
（1）證明
；
（2）求直線SD與平面SAB所成角的大小.
20．(本小題滿分13分)過拋物線
的焦點F作直線l與拋物線交于A、B.
（1）求證：
不是直角三角形；
（2）當l的斜率為
時，拋物線上是否存在點C，使為直角三角形且B為直角（點B位于x軸下方）？若存在，求出所有的點C；若不存在，說明理由.
21．(本小題滿分14分)對于函數f(x)，若存在
，使
成立，則稱x0為f(x)的不動點. 如果函數
有且僅有兩個不動點0，2，且
（1）試求函數f(x)的單調區間；
（2）已知各項不為零且不為1的數列{an}滿足
，求證：
；
（3）設
，
為數列{bn}的前n項和，求證：
1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.A
11．31003 12．60 13．
14．
15．①②⑤
16．解：（1）設“取出兩個紅球”為事件A，“取出一紅一白兩個球”為事件B，則
……2分
由題意得
則有
，可得
……4分
∵
，∴m為奇數……6分
（2）設“取出兩個白球”為事件C，則
……7分
由題意知
，即有
可得到
，從而m+n為完全平方數……9分
又m≥n≥4及m+n≤20得9≤m+n≤20
得到方程組：
；
解得：
，（不合題意舍去）
……11分
故滿足條件的數組（m, n）只有一組（10，6）……12分
17．解：（1）∵
，……2分
即
即
……4分
由于
，故
……6分
（2）由
……8分
……10分
當且僅當tanA=tanB，即A=B時，tanC取得最大值
.
所以C的最大值為
，此時
為等腰三角形. ……12分
18．解：設裁員x人，可獲得的經濟效益為y萬元，
則
……4分
依題意
又140<2a<420, 70<a<210. ……6分
（1）當
時，x=a-70, y取到最大值；……8分
（2）當
時，
， y取到最大值；……10分
答：當
時，裁員a-70人；當
時，裁員
人……12分
19．解法一：（1）作
，垂足為O，連結AO，由側面
底面ABCD，得
底面
ABCD. 因為SA=SB，所以AO=BO. 又
，故
為等腰直角三角形，
由三垂線定理，得
（2）由（1）知
，依題設
，故
，由
，得
所以
的面積
連結DB，得
的面積
設D到平面SAB的距離為h，由
，
得
，解得
設SD與平面SAB所成角為
，則
所以直線SD與平面SAB所成的角為
解法二：（1）作，垂足為O，連結AO，由側面底面ABCD，得平面ABCD. 因為SA=SB，所以AO=BO. 又，為等腰直角三角形，
如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O―xyz，
，所以
（2）取AB中點E，
. 連結SE，取SE中點G，連結OG，
，OG與平面SAB內兩條相交直線SE、AB垂直，所以
平面SAB.
的夾角記為，SD與平面SAB所成的角記為
，則與互余.
所以直線SD與平面SAB所成的角為
20．解：（1）∵焦點F為（1，0），過點F且與拋物線交于點A、B的直線可設為
，代入拋物線
得：
，則有
……2分
進而
……4分
又
，
得
為鈍角，故不是直角三角形.……6分
（2）由題意得AB的方程為
，
代入拋物線，求得
……8分
假設拋物線上存在點
，使為直角三角形且C為直角，此時，以AC為直徑的圓的方程為
，將A、B、C三點的坐標代入得：
整理得：
……10分
解得
對應點B，
對應點C……12分
則存在
使為直角三角形.
故滿足條件的點C有一個：……13分
∴
令
由
∴當
時，h(t)單調遞增，∴h(t)>h(1)=0
于是
……②
由①、②可知
……10分
所以，
，即
……11分
（3）由（2）可知
在中令n=1, 2, 3, …, 2007，并將各式相加得
即
……14分
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