題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)
已知A、B、C為
的三個內角，向量
，且
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求C的最大值，并判斷此時的形狀.
(本小題滿分12分)
已知點C（4，0）和直線
P是動點，作
垂足為Q，且
設P點的軌跡是曲線M。
（1）求曲線M的方程；
（2）點O是坐標原點，是否存在斜率為1的直線m，使m與M交于A、B兩點，且
若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由。
(本小題滿分12分)
已知在銳角△ABC中，a, b, c分別為角A、B、C所對的邊，向量
，
，
.
(1)求角A的大小；
(2)若a=3，求△ABC面積的最大值.
(本小題滿分12分)
已知點C（4，0）和直線
P是動點，作
垂足為Q，且
設P點的軌跡是曲線M。
（1）求曲線M的方程；
（2）點O是坐標原點，是否存在斜率為1的直線m，使m與M交于A、B兩點，且
若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由。
(本小題滿分12分)
已知橢圓C:
（a＞b＞0）的離心率為
短軸一個端點到右焦點的
距離為
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為
，求△AOB面積的
最大值.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.A
11．31003 12．60 13．
14．
15．①②⑤
16．解：（1）設“取出兩個紅球”為事件A，“取出一紅一白兩個球”為事件B，則
……2分
由題意得
則有
，可得
……4分
∵
，∴m為奇數……6分
（2）設“取出兩個白球”為事件C，則
……7分
由題意知
，即有
可得到
，從而m+n為完全平方數……9分
又m≥n≥4及m+n≤20得9≤m+n≤20
得到方程組：
；
解得：
，（不合題意舍去）
……11分
故滿足條件的數組（m, n）只有一組（10，6）……12分
17．解：（1）∵
，……2分
即
即
……4分
由于
，故
……6分
（2）由
……8分
……10分
當且僅當tanA=tanB，即A=B時，tanC取得最大值
.
所以C的最大值為
，此時
為等腰三角形. ……12分
18．解：設裁員x人，可獲得的經濟效益為y萬元，
則
……4分
依題意
又140<2a<420, 70<a<210. ……6分
（1）當
時，x=a-70, y取到最大值；……8分
（2）當
時，
， y取到最大值；……10分
答：當
時，裁員a-70人；當
時，裁員
人……12分
19．解法一：（1）作
，垂足為O，連結AO，由側面
底面ABCD，得
底面
ABCD. 因為SA=SB，所以AO=BO. 又
，故
為等腰直角三角形，
由三垂線定理，得
（2）由（1）知
，依題設
，故
，由
，得
所以
的面積
連結DB，得
的面積
設D到平面SAB的距離為h，由
，
得
，解得
設SD與平面SAB所成角為
，則
所以直線SD與平面SAB所成的角為
解法二：（1）作，垂足為O，連結AO，由側面底面ABCD，得平面ABCD. 因為SA=SB，所以AO=BO. 又，為等腰直角三角形，
如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O―xyz，
，所以
（2）取AB中點E，
. 連結SE，取SE中點G，連結OG，
，OG與平面SAB內兩條相交直線SE、AB垂直，所以
平面SAB.
的夾角記為，SD與平面SAB所成的角記為
，則與互余.
所以直線SD與平面SAB所成的角為
20．解：（1）∵焦點F為（1，0），過點F且與拋物線交于點A、B的直線可設為
，代入拋物線
得：
，則有
……2分
進而
……4分
又
，
得
為鈍角，故不是直角三角形.……6分
（2）由題意得AB的方程為
，
代入拋物線，求得
……8分
假設拋物線上存在點
，使為直角三角形且C為直角，此時，以AC為直徑的圓的方程為
，將A、B、C三點的坐標代入得：
整理得：
……10分
解得
對應點B，
對應點C……12分
則存在
使為直角三角形.
故滿足條件的點C有一個：……13分
∴
令
由
∴當
時，h(t)單調遞增，∴h(t)>h(1)=0
于是
……②
由①、②可知
……10分
所以，
，即
……11分
（3）由（2）可知
在中令n=1, 2, 3, …, 2007，并將各式相加得
即
……14分
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