2007年南通市高三第一次調研考試
數學試題
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．
設全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，則
A．{4，5} B．{2，3} C．{1} D．{2}
2．
…
除以9的余數是
A．1
B．
3．
函數
的定義域和值域均為[0，1]，則a等于
A．
B．
D．
4． 雙曲線的一條漸近線與實軸的夾角為α，則雙曲線的離心率為
A．sinα B．
C．cosα D．
5． 對某種電子元件使用壽命跟蹤調查，所得樣本頻率分布直方圖如右圖，由圖可知一批電子元件中壽命在100~300小時的電子元件的數量與壽命在300~600小時的電子元件的數量的比是
A．
B．
C．
D．
6． 函數
的單調遞增區間是
A．
B．
C．
D．
7． 箱內有大小相同的6個紅球和4個黑球，從中每次取1個球記下顏色后再放回箱中，則前3次恰有1次取到黑球的概率為
A．
B．
C．
D．
8． 空間四條直線a，b，c，d，滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，則必有
A．a⊥c B．b⊥d C．b∥d 或a∥c D．b∥d 且a∥c
9． 若a＞0，b＞0，a3＋b3＜
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
10．△ABC的外接圓圓心為O，且
，則∠C等于
A．45° B．60° C．75° D．90°
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填寫在答題卡相應位置上．
11．已知向量a＝（－1，1），b＝
，則a與b的夾角α＝ ▲ ．
12．垂直于直線x－3y＝0且與曲線
相切的直線方程為 ▲ ．
13．橢圓
的一個焦點為F，點P在橢圓上，且
（O為坐標原點），則
△OPF的面積S＝ ▲ ．
14．數列{an}中，
，
，且
，則常數t＝ ▲ ．
15．一排7個座位，讓甲、乙、丙三人就坐，要求甲與乙之間至少有一個空位，且甲與丙之間也至少有一個空位，則不同的坐法有 ▲ 種．
16．已知函數
，當
時，有
．給出以下命題：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．
則所有正確命題的序號是 ▲ ．
三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本題滿分12分）
已知拋物線的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，且過點P（2，2），過F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）設直線l是拋物線的準線，求證：以AB為直徑的圓與直線l相切．
18．（本題滿分14分）
在同一平面內，Rt△ABC和Rt△ACD拼接如圖所示，現將△ACD繞A點順時針旋轉α角（0＜α＜
）后得△AC1D1，AD1交DC于點E，AC1交BC于點F．∠BAC＝∠ACD＝
，∠ACB＝∠ADC＝
，AC＝
．
（1）當AF＝1時，求α；
（2）求證：對任意的α∈（0，），
為定值．
19．（本題滿分14分）
正四棱錐S－ABCD中，O為底面中心，E為SA的中
點，AB＝1，直線AD到平面SBC的距離等于
．
（1）求斜高SM的長；
（2）求平面EBC與側面SAD所成銳二面角的大小；
（3）在SM上是否存在點P，使得OP⊥平面EBC？
并證明你的結論．
20．（本題滿分15分）
（1）設a，n∈N*，a≥2，證明：
；
（2）等比數列{an}中，
，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數列．設
，數列{bn}前n項的和為Bn，證明：Bn＜
．
21．（本題滿分15分）
已知函數
和
（其中
），
，
．
（1）求
的取值范圍；
（2）方程
有幾個實根？為什么？
2007年南通市高三第一次調研考試
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．A
11．120° 12．3x＋y－1＝0 13．
14．10 15．100 16．（1），（4）
17．解：（1）設拋物線
，將（2，2）代入，得p＝1． …………4分
∴y2=2x為所求的拋物線的方程．………………………………………………………5分
（2）聯立
消去y，得到
． ………………………………7分
設AB的中點為
，則
．
∴ 點
到準線l的距離
．…………………………………9分
而
，…………………………11分
，故以AB為直徑的圓與準線l相切．…………………… 12分
（注：本題第（2）也可用拋物線的定義法證明）
18．解：（1）在△ACF中，
，即
．………………………………5分
∴
．又
，∴
．……………………
7分
（2）
． ……………………………14分
（注：用坐標法證明，同樣給分）
19．
解法一：（1）連OM，作OH⊥SM于H．
∵SM為斜高，∴M為BC的中點，∴BC⊥OM．
∵BC⊥SM，∴BC⊥平面SMO．
又OH⊥SM，∴OH⊥平面SBC．……… 2分
由題意，得
．
設SM＝x，
則
，解之
，即
．………………… 5分
（2）設面EBC∩SD＝F，取AD中點N，連SN，設SN∩EF＝Q．
∵AD∥BC，∴AD∥面BEFC．而面SAD∩面BEFC＝EF，∴AD∥EF．
又AD⊥SN，AD⊥NM，AD⊥面SMN．
從而EF⊥面SMN，∴EF⊥QS，且EF⊥QM．
∴∠SQM為所求二面角的平面角，記為α．……… 7分
由平幾知識，得
．
∴
，∴
．
∴
，即所求二面角為
． ……………… 10分
（3）存在一點P，使得OP⊥平面EBC．取SD的中點F，連FC，可得梯形EFCB，
取AD的中點G，連SG，GM，得等腰三角形SGM，O為GM的中點，
設SG∩EF＝H，則H是EF的中點．
連HM，則HM為平面EFCB與平面SGM的交線．
又∵BC⊥SO，BC⊥GM，∴平面EFCB⊥平面SGM． …………… 12分
在平面SGM中，過O作OQ⊥HM，由兩平面垂直的性質，可知OQ⊥平面EFCB．
而OQ
平面SOM，在平面SOM中，延長OQ必與SM相交于一點，
故存在一點P，使得OP⊥平面EBC． ……………………… 14分
，
，
，
． ……………… 1分
，
，
，
．
，
．
＝（0，1，0），由題意，得
．解得
．
． …………………………………………………… 5分
，
． ………………………………6分
，
，得
解得
∴
．………………… 8分
，∴
．…………… 10分
點．證明如下：
． ………………………… 11分
，令
與n2共線，則
． ……………… 13分
．故存在P∈SM，使OP⊥面EBC．………………………
14分
＝
． ………………3分
＝
=
≥
． …………6分
，
，
，∴公比
．……9分
． …………………………………………10分
． ……………12分
…
…
．……15分21．解：（1）∵
，
，∴
，∴
． 1分
，即
，∴
． …3分
，即
時，上式不成立．………………………………………………4分
，即
時，
．由條件
，得到
．
，解得
或
． ……………………………………………5分
，解得
或
．…………………………………………6分
m的取值范圍是
或
． ………………………………………7分
，即
．
，則
．
． ………………………10分
有相異兩實根
．
，∴
顯然
，
，
，∴
，∴
． …………12分
．
為三次函數
的極小值點，故
只有一個實根．…………………………15分