山西省運城市2008―2009學年第二學期高三調研測試
數學試題(理)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．請在答卷頁上作答。
第Ⅰ卷 (選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．復數
(其中
為虛數單位)的虛部為（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知全集
，集合
，
，則
等于（ ）
A．
B．
C
D．
3．已知向量
，
，若
，則
為（ ）
A．
B．
C． D．
4．在等比數列
中，
為其前項和，已知
，
，則此數列的公比
為（ ）
A．2 B．
5．設函數
，則其反函數
的圖象是（ ）
6．設
則不等式
的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．設隨機變量
且
，
，則
的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知直線
，圓
，若圓心到直線
的距離最小，則實數
的取值為（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若
同時具有以下兩個性質：①是偶函數；②對于任意實數
，都有
，則的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知一個球內有兩個互相垂直的截面圓，且它們的公共弦長為2，兩個圓心的距離為
，則這個球的半徑為（ ）
A．2 B． C．
D．
11．有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是（ ）
A．234 B．
12．已知拋物線
的準線與雙曲線
交于A、B兩點，點
為拋物線的焦點，若
為直角三角形，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．
的展開式中的的系數是
，則
= ．
14．曲線
在點
處切線的傾斜角的大小是
．
15．在棱長均相等的正三棱柱
中，
與平面
所成的角的正弦值為
．
16．已知直線：
過點
，若可行域
，的外接圓直徑為
，則實數的值是
。
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)
17．(本小題滿分10分)
在
中，角
、
、
的對邊分別為、
、
，且滿足
．
(1)求角B的大小；
(2)已知函數
，求
的取值范圍。
18．(本小題滿分12分)
如圖，已知
平面
，
，
是
正三角形，且
．
(1)若
為
中點，求證：
平面
；
(2)求平面與平面所成二面角的大小．
19．(本小題滿分12分)
某種家用電器每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間
(單位：年)有關。若
，則銷售利潤為元；若
，則銷售利潤為
元；若
，則銷售利潤為
元．設每臺該種電器的無故障使用時間，及這三種情況發生的概率分別為
，
，
，叉知，是方程
的兩個根，且
(1)求，，的值；
(2)記
表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和，求的期望．
20．(本小題滿分12分)
數列的前項和為，
，
．求：
(1)數列的通項
；
(2)數列
的前項和
．
21．(本小題滿分12分)
設函數
．
(1)討論的單調性；
(2)求在區間
上的最大值和最小值。
22．(本小題滿分12分)
已知橢圓的方程為
，過其左焦點
且斜率為1的直線
交橢圓于
、
兩點．
(1)若
與
共線，求橢圓的方程；
(2)若直線：
，在上求一點，使以橢圓的焦點為焦點且過點的雙曲線
的實軸最長，求點的坐標和此雙曲線的方程．
運城市2008―2009學年第二學期高三調研測試
1．C 2．D 3．D 4．B 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 1 0．A 11．B 12．B
13．
14．
15．
16．3或5
提示：
1．C 
，故它的虛部為
．(注意：復數
的虛部不是
而是
)
2．D 解不等式
，得
，∴
，
∴
，故
3．D 
，
，∴
，∴
．
4．B 兩式相減得
，∴
，∴
．
5．C 令
，解得
，∴
．
6．C 由已知有
或
解得
或
7．D 由正態曲線的對稱性和
，知
，即正態曲線關于直線
對稱，于是，
，所以
8．B 圓心到直線
的距離最小為0，即直線經過圓心
，
∴
，∴
，∴
．
9．C 對于A、D，
與
，
不是對稱軸；對于B，電
不是偶函數；對于C，
符合要求．
10．A 設兩個截面圓的圓心分刷為
、
，公共弦的中點為M，則四邊形
為矩形，∴
，
．
11． B 應先求出2人坐進20個座位的排法。排除2人相鄰的情況即可。
共有11+12=23個座位，去掉前排中間3個不能入坐的座位，還有20個座位，則2人坐入20個座位的排法有
種，排除①兩人坐前排相鄰的12種情況；②兩人坐后排相鄰的22種情況，∴不同排法的種數有
（種）．
12．B 拋物線的準線
，焦點為
，由
為直角三角形，知
為斜邊，故意
，又將代入雙曲線方程得
，得
，解得
，∴離心率為
。
13． 展開式中的
的系數是
，
14． 
，∴
15． 設棱長均為2，由圖知
與
到
的距離相等，而到平面的距離為
，故所成角的正弦值為
。
16．3或5 作出可行域（如圖），知
在直線
上，
∴
，
，在直線：
中，
令
，得
，∴坐標為
，∴
，
解得或5。
17．解：（1）由
，得
，…2分
∴
，∵
，∴
，∴
…………………………………………………………………………4分
∵
，∴
………………………………………5分
（2）∵，∴
，
∴
……………8分
∵
，∴
，∴
……………10分
18．解：（1）證明：延長
、
相交于點
，連結
。
∵
，且
，∴為
的中點，
為
的中點。
∵
為
的中點，由三角形中位線定理，有
∵
平面
，
平面，∴
平面…………………6分
（2）（法一）由（1）知平面
平面
。
∵為的中點，∴取的中點
，則有
。
∵
，∴
∵
平面
，∴
為
在平面上的射影，∴
∴
為平面與平面所成二面角的平面角。……………………10分
∵在
中，
，
，
∴
，即平面與平面所成二面角的大小為
。…………12分
（法二）如圖，∵平面，，
∴
平面，
取的中點
為坐標原點，以過且平行
的直線為
軸，
所在的直線為 軸，
所在的直線為
軸，建立空間直角坐標系。
設
，則
，
，
，
，
∴
，
設
為平面的法向量，
則
取
，可得
又平面的法向量為
，設
與
所成的角為
，………………… 8分
則
，
由圖可知平面與平面所成二面角為銳角。
∴平面與平面所成二面角的大小為………………………………12分
19．解：（1）由已知得
，∵
，∴
∵
、
是方程
的兩個根，∴
∴
，
…………………………………………6分
（2）
的可能取值為0，100，200，300，400
，
，
，
，
即的分布列為：
……………………………………………………10分
故
………………………12分
20．解：（1）∵
，∴
，∴
又∵
，∴數列
是首項為1，公比為3的等比數列，
。
當
時，
（），∴
（2）
，
當
時，
；
當時，
，①
②
①-②得：
∴
又∵
也滿足上式：∴
……………………12分
21．解：
的定義域為
……………………………………………………1分
（1）
……………………………………………………3分
當
時，
；當
時，
；當
時，。
從而分別在區間
，
上單調遞增，在區間
上單調遞減
……………………………………………………6分
（2）由（1）知在區間
上的最小值為
……………8分
又
，
所以在區間上的最大值為
…………………12分
22．解（1）將直線
的方程
代入
，
化簡得
令
，
同步練習冊答案
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