運城市2008―2009學年第二學期高三調研測試
數學試題(文)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．請在答卷頁上作答。
第Ⅰ卷 (選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．拋物線
的焦點
的坐標是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知全集
，集合
，
，則
等于（ ）
A．
B．
C
D．
3．已知非零實數
、
，滿足
，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量
，
，若
，則
為（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在等比數列
中，
為其前項和，已知
，
，則此數列的公比
為（ ）
A．2 B．
6．設函數
，則其反函數
的圖象是（ ）
7．已知在矩形
中，
，
，沿
將矩形折成一個直角二面角
，則四面體的外接球的體積為（ ）
A．
B．
C．
D
8．設
則不等式
的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若曲線
在點
處的切線為
，則點
到直線的距離為（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若
同時具有以下兩個性質：①是偶函數；②對于任意實數
，都有
，則的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．過雙曲線
的右頂點
作斜率為1的直線，若與該雙曲線的其中一條漸近線相交于點
，則該雙曲線的離心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是（ ）
A．234 B．
第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．
的展開式中的的系數是
，
則= ．
14．已知某地教育部門為了解學生在數學答卷中的
有關信息，從上次考試的10000名考生的數學
試卷中，用分層抽樣的方法抽取500人，并根據
這500人的數學成績畫出樣本的頻率分布直方圖
(如圖)，則這10000人中數學成績在[140，150]中
的約有 人．
15．在棱長均相等的正三棱柱
中，
與平面
所成的角的正弦值為
．
16．若以原點為圓心的圓全部在區域
內，則圓面積的最大值為
。
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)
17．(本小題滿分10分)
在
中，角、
、
的對邊分別為、、
，且滿足
．
(1)求角B的大小；
(2)已知函數
，求
的取值范圍。
18．(本小題滿分12分)
如圖，已知
平面
，
，
是
正三角形，且
．
(1)若
為
中點，求證：
平面
；
(2)求平面與平面所成二面角的大小．
19．(本小題滿分12分)
某種家用電器每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間
(單位：年)有關。若
，則銷售利潤為
元；若
，則銷售利潤為
元；若
，則銷售利潤為
元．設每臺該種電器的無故障使用時間，及這三種情況發生的概率分別為
，
，
，叉知，是方程
的兩個根，且
(1)求，，的值；
(2)求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為200元的概率．
20．(本小題滿分12分)
設
的極小值為
，其導函數
的圖象經過點，
，如圖所示。
（1）求的解析式；
（2）若對
都有
恒成立，求實數
的取值范圍。
21．(本小題滿分12分)
數列的前項和為，
，
．求：
(1)數列的通項
；
(2)數列
的前項和
．
22．(本小題滿分12分)
如圖，在直角坐標系
中，已知橢圓：
的離心率
，左、右兩個焦點分別為
、
。過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交、
兩點，且
．
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的左頂點為，下頂點為，動點
滿足
，試求點的軌跡方程，使點關于該軌跡的對稱點落在橢圓上．
運城市2008―2009學年第二學期高三調研測試
1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 1 0．C 11．A 12．B
13．
14．
15．
16．
提示：
1．D 由
，得
，所以焦點
2．D 解不等式
，得
，∴
，
∴
，故
3．D （法一）當
時，
推導不出
，排除C；故選D。
（法二）∵
，
為非零實數且滿足，∴
，即
，故選D。
4．D 
，
，∴
，∴
．
5．B 兩式相減得
，∴
，∴
．
6．C 令
，解得
，∴
．
7．C 可知四面體
的外接球以
的中點
為球心，故
8．C 由已知有
或
解得
或
9．B 
，∴
，又
，
∴切線
的方程為
，即
，∴點
到直線的距離為期不遠
10．C 對于A、D，
與
，
不是對稱軸；對于B，電
不是偶函數；對于C，
符合要求．
11．A 由題意知直線的方程為
，當
時，
，即點
是漸近線
上一點，∴
，即離心率
．
12． B 應先求出2人坐進20個座位的排法。排除2人相鄰的情況即可。
共有11+12=23個座位，去掉前排中間3個不能入坐的座位，還有20個座位，則2人坐入20個座位的排法有
種，排除①兩人坐前排相鄰的12種情況；②兩人坐后排相鄰的22種情況，∴不同排法的種數有
（種）．
13． 展開式中的
的系數是
，
14．800 由圖知成績在
中的頻率為
，所以在10000人中成績在中的人有
人。
15． 設棱長均為2，由圖知
與
到
的距離相等，而到平面的距離為
，故所成角的正弦值為
。
16． 求圓面積的最大值，即求原點到三條直線
，
和
距離的最小值，由于三個距離分別為
、
、
，最小值為，所以圓面積的最大值為
。
17．解：（1）由
，得
，…2分
∴
，∵
，∴
，∴
…………………………………………………………………………4分
∵
，∴
………………………………………5分
（2）∵，∴
，
∴
……………8分
∵
，∴
，∴
……………10分
18．解：（1）證明：延長
、
相交于點
，連結
。
∵
，且
，∴為
的中點，
為
的中點。
∵
為
的中點，由三角形中位線定理，有
∵
平面
，
平面，∴
平面…………………6分
（2）（法一）由（1）知平面
平面
。
∵為的中點，∴取的中點
，則有
。
∵
，∴
∵
平面
，∴
為
在平面上的射影，∴
∴
為平面與平面所成二面角的平面角。……………………10分
∵在
中，
，
，
∴
，即平面與平面所成二面角的大小為
。…………12分
（法二）如圖，∵平面，，
∴
平面，
取的中點為坐標原點，以過且平行
的直線為
軸，
所在的直線為 軸，
所在的直線為
軸，建立空間直角坐標系。
設
，則
，
，
，
，
∴
，
設
為平面的法向量，
則
取
，可得
又平面的法向量為
，設
與
所成的角為
，………………… 8分
則
，
由圖可知平面與平面所成二面角為銳角。
∴平面與平面所成二面角的大小為………………………………12分
19．解：（1）由已知得
，∵
，∴
∵
、
是方程
的兩個根，∴
∴
，
…………………………………………6分
（2）設兩臺電器無故障使用時間分別為
、
，則銷售利潤總和為200元有三種情況：
，
；
，
；
，
，
其概率分別為
；
；
∴銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為200元的概率為
………………………12分
20．解：（1）∵
，且
的圖象經過點
，
，
∴
∴
∴
由圖象可知函數
在
上單調遞減，在
上單調遞增，在
上單調遞減，
∴
，解得
，
∴
………………………6分
（2）要使對
都有
恒成立，只需
即可。
由（1）可知函數在
上單調遞減，在上單調遞增，
在
上單調遞減，且
，
，、
∴
，
，
故所求的實數的取值范圍為
………………………12分
21．解：（1）∵
，∴
，∴
又∵
，∴數列
是首項為1，公比為3的等比數列，
。
當
時，
（），∴
（2）
，
當
時，
；
當時，
，①
②
①-②得：
∴
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