西安中學高三第三次年級統考數 學 試 卷（文科）
命題人：陳昭亮 審題人：董小平
第Ⅰ卷 選擇題（共60分）
一．選擇題 （本大題共12小題，每小題5分，。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。）
1．設集合
，則
( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
2. 已知等差數列
=（ ）
A．18 B．
3.設
，則
的大小關系為（ ）
A.
B. 
C.
D.
4．設
、
是兩條不同的直線，
、
是兩個不同的平面，給出下列命題：①∥,⊥，則⊥；②若⊥，⊥，⊥，則⊥；③若⊥，⊥，
，則∥；④⊥，⊥，則∥，或. 其中真命題是（ ）.
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
5．函數
且
在
上的最大值與最小值的和是
，則的值是（ ）
A．
B．
C．2 D．4
6．若拋物線
的焦點與橢圓
的右焦點重合，則p的值為（ ）
A．－2 B．
7．在函數
（
）的圖象上有一點
，此函數與 x軸、直線x＝－1及x＝t圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為S，則S與t的函數關系圖可表示為 （
）
8． 已知
向量
的夾角為60°，則
的值為（ ）
A.2 B
D.
9．已知定義在R上的奇函數
滿足
，則f(－6)的值為
A. 0
B. －
10．經過點M（0，3）且斜率為1的直線ι被圓
截得的弦長為
A. 
B. 
C. 
D. 
11．從4名男同學，3名女同學中任選3名參加體能測試，則選到的3名同學中既有男同學又有女同學的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列命題：
①若
是定義在[－1，1]上的偶函數，且在[－1，0]上是增函數，
，則
②在
中，A=B是sinA=sinB的充要條件。
③若
為非零向量，且
，則
。
④要得到函數
的圖像，只需將函數
的圖像向右平移
個單位。
其中真命題的個數有（ ）
A．1 B．
第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）
二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13.計算
=
。
14. 若
,則
.
15.長方體ABCD－A1B
16．設曲線
在點(1,2)處的切線與直線
垂直，則
．
三．解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題12分）已知函數
．
（Ⅰ）求函數的最小正周期；
（Ⅱ）求函數的單調遞增區間．
18．（本小題12分）已知甲盒內有大小相同的3個紅球和4個黑球，乙盒內有大小相同的5個紅球和4個黑球．現從甲、乙兩個盒內各任取2個球．
（Ⅰ）求取出的4個球均為紅球的概率；
（Ⅱ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率.
19．（本小題12分）
如圖,四棱錐
的底面是邊長為的菱形,
,
平面
，
.
（Ⅰ）求直線PB與平面PDC所成的角的正切值;
（Ⅱ）求二面角A－PB－D的正切值.
20．（本小題12分）
設
，
（1）求函數
的單調增區間；
（2）當
時，
恒成立，求實數
的取值范圍
21．（本小題12分）已知由正數組成的兩個數列
，如果
是關于
的方程
的兩根。
（1）求證：
為等差數列；
（2）已知
分別求數列的通項公式；
（3）求數
。
22．（本小題14分）.
若實數
，函數
（1）令
，求函數
的極值；
（2）若在區間
上至少存在一點
，使得
成立，求實數的取值范圍。
西安中學高三第三次年級統考數學（文）答卷紙
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空題
13． ； 14. ；15. ； 16. 。
三、解答題
17．
18．
19．
20．
21．
22.
三、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
B
D
B
D
A
B
C
B
四、填空題
13．2 14. 31 15. 
16. 2.
三、解答題
17．17．解：（Ⅰ）
．
的最小正周期
．
（Ⅱ）由
解得
∴ 
的單調遞增區間為
。
18．（Ⅰ）解：設“從甲盒內取出的2個球均為紅球”為事件
，“從乙盒內取出的2個球均為紅球”為事件
．由于事件
相互獨立，且
，
，
故取出的4個球均為紅球的概率是
．
（Ⅱ）解：設“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個紅球為黑球”為事件
，“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件
．由于事件
互斥，且
，
．
故取出的4個紅球中恰有4個紅球的概率為
．
19．（Ⅰ）取DC的中點E.
∵ABCD是邊長為
的菱形,
，∴BE⊥CD.
∵
平面
, BE
平面，∴ BE.
∴BE⊥平面PDC.∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角.
∵BE=
，PE=
,∴
=
=
.
（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，因為ABCD是菱形，所以AO⊥BD.
∵平面, AO平面，
∴
PD. ∴AO⊥平面PDB.
作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB.
故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.
∵AO=，OF=
，∴
=
.
20．解：（1）令
得所求增區間為
，
。
（2）要使當
時
恒成立，只要當時 
。
由（1）知
當
時，
是增函數，
；
當
時，是減函數，
；
當
時，是增函數，
由
，因此故
。
21. 證明：由
是關于x的方程
的兩根得
。
，
是等差數列。
（2）由（1）知
。
。
又
符合上式，
。
（3）
①
②
①―②得 
。
。
22． （1）∵
∴
令
，∴
或
若
，
在點附近，當
時，
；當
時，
∴是函數
的極小值點，極小值為
；
在點附近，當
時，；當
時，
∴是函數的極大值點，極大值為
若
，易知，
是函數的極大值點，極大值為；
是函數的極小值點，極小值為
（2）若在
上至少存在一點
使得
成立，
則
在上至少存在一解，即
在上至少存在一解
由（1）知，
當時，函數在區間上遞增，且極小值為
∴此時在上至少存在一解；
當時，函數在區間
上遞增，在
上遞減，
∴要滿足條件應有函數的極大值
，即
綜上，實數的取值范圍為或。
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