題目列表(包括答案和解析)
（本小題12分）已知函數
．
（1）作出函數
的圖像；
（2）解不等式
．
（本小題12分）
已知函數
．
（1）求函數
的最小正周期、最小值、最大值；
（2）畫出函數
區間
內的圖象．
（本小題12分）已知函數
．
(1)證明函數
的圖像關于點
對稱;
（2）若
，求
；
（3）在（2）的條件下，若
，
為數列
的前
項和，若
對一切
都成立，試求實數
的取值范圍．
（本小題12分）已知函數
．
（1）求函數
的單調區間；
（2）若函數
的圖象在點
處的切線的傾斜角為
，對于任意的
，函數
在區間
上總不是單調函數，求
的取值范圍；
（3）求證：
．
（本小題12分）已知函數
．
（I）若
在
[1，＋∞
上是增函數，求實數a的取值范圍；
（II）若
是的極值點，求在[1，a]上的最小值和最大值．
三、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
B
D
B
D
A
B
C
B
四、填空題
13．2 14. 31 15. 
16. 2.
三、解答題
17．17．解：（Ⅰ）
．
的最小正周期
．
（Ⅱ）由
解得
∴ 
的單調遞增區間為
。
18．（Ⅰ）解：設“從甲盒內取出的2個球均為紅球”為事件
，“從乙盒內取出的2個球均為紅球”為事件
．由于事件
相互獨立，且
，
，
故取出的4個球均為紅球的概率是
．
（Ⅱ）解：設“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個紅球為黑球”為事件
，“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件
．由于事件
互斥，且
，
．
故取出的4個紅球中恰有4個紅球的概率為
．
19．（Ⅰ）取DC的中點E.
∵ABCD是邊長為
的菱形,
，∴BE⊥CD.
∵
平面
, BE
平面，∴ BE.
∴BE⊥平面PDC.∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角.
∵BE=
，PE=
,∴
=
=
.
（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，因為ABCD是菱形，所以AO⊥BD.
∵平面, AO平面，
∴
PD. ∴AO⊥平面PDB.
作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB.
故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.
∵AO=，OF=
，∴
=
.
20．解：（1）令
得所求增區間為
，
。
（2）要使當
時
恒成立，只要當時 
。
由（1）知
當
時，
是增函數，
；
當
時，是減函數，
；
當
時，是增函數，
由
，因此故
。
21. 證明：由
是關于x的方程
的兩根得
。
，
是等差數列。
（2）由（1）知
。
。
又
符合上式，
。
（3）
①
②
①―②得 
。
。
22． （1）∵
∴
令
，∴
或
若
，
在點附近，當
時，
；當
時，
∴是函數
的極小值點，極小值為
；
在點附近，當
時，；當
時，
∴是函數的極大值點，極大值為
若
，易知，
是函數的極大值點，極大值為；
是函數的極小值點，極小值為
（2）若在
上至少存在一點
使得
成立，
則
在上至少存在一解，即
在上至少存在一解
由（1）知，
當時，函數在區間上遞增，且極小值為
∴此時在上至少存在一解；
當時，函數在區間
上遞增，在
上遞減，
∴要滿足條件應有函數的極大值
，即
綜上，實數的取值范圍為或。
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