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資陽(yáng)市2008―2009學(xué)年度高中三年級(jí)第二次高考模擬考試數(shù)學(xué)（理）

本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至8頁(yè)．全卷共150分，考試時(shí)間為120分鐘．（考試時(shí)間3月28日）

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

注意事項(xiàng)：

1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上．

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上．

3．考試結(jié)束時(shí)，將本試卷和答題卡一并收回．

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么_.

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么_.

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率_.

球的表面積，其中R表示球的半徑.

球的體積，其中R表示球的半徑.

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目的要求的．

1．已知i為虛數(shù)單位，集合，，且，則實(shí)數(shù)m的值為

（A）±2 （B）±1 （C）-1 （D）1

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2．若，則下列不等式不成立的是

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（A）（B）（C）（D）

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3．函數(shù)是

（A）最小正周期是π的偶函數(shù) （B）最小正周期是π的奇函數(shù)

（C）最小正周期是2π的偶函數(shù) （D）最小正周期是2π的奇函數(shù)

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4．已知直線(xiàn)mÌ平面α，條件甲：直線(xiàn)l∥α，條件乙：l∥m，則甲是乙的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件

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5．已知隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

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（A）（B）隨機(jī)變量ξ的期望與標(biāo)準(zhǔn)差均為1

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（C）的漸近線(xiàn)方程為（D）在區(qū)間上是減函數(shù)

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6．在右邊的表格中，如果每格填上一個(gè)數(shù)后，每一橫行的數(shù)成等差數(shù)列，每一縱列的數(shù)成等比數(shù)列，那么的值為

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

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7．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于

（A）70 （B）38 （C）-32 （D）-38

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8．四面體ABCD的外接球球心在CD上，且，，在其外接球面上A、B兩點(diǎn)間的球面距離是

試題詳情

（A）（B）（C）（D）

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9．已知向量，向量，曲線(xiàn)上一點(diǎn)P到的距離為6，Q為PF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

（A）5 （B）1 （C）10或2 （D）5或1

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10．某班級(jí)要從6名男生、4名女生中選派6人參加某次社區(qū)服務(wù)，要求女生甲、乙要么都參加、要么都不參加，且至少一名女生參加，那么不同的選派方案總數(shù)為

（A）117 （B）107 （C）97 （D）82

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11．已知點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足設(shè)z為在上的投影，則z的取值范圍是

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（A）（B）（C）（D）

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12．已知函數(shù)．規(guī)定：給定一個(gè)實(shí)數(shù)，賦值，若x₁≤244，則繼續(xù)賦值，…，以此類(lèi)推，若≤244，則，否則停止賦值．若最后得到的賦值結(jié)果為，則稱(chēng)為賦值了n次．如果賦值k次后該過(guò)程停止，那么的取值范圍是

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（A）（B）

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（C）（D）

資陽(yáng)市2008―2009學(xué)年度高中三年級(jí)第二次高考模擬考試

數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）

第Ⅱ卷(非選擇題共90分)

題號(hào)

二

三

總分

總分人

得分

注意事項(xiàng)：

試題詳情

1．第Ⅱ卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷上．

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2．答卷前將密封線(xiàn)內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．

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二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．把答案直接填在題目中的橫線(xiàn)上．

13．已知函數(shù)在R上連續(xù)，則______．

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14．圖1是函數(shù)的部分圖象，則_______．

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15．如圖2，已知A、D、B、C分別為過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)和圓的交點(diǎn)，則__________．

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16．設(shè)，函數(shù)，其中a∈R，常數(shù)m∈N^*，且．如果不等式在區(qū)間有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.

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三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分．解答要寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

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17．（本小題滿(mǎn)分12分）

試題詳情

在△ABC中，已知角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且直線(xiàn)l₁：與直線(xiàn)l₂：互相平行（其中）．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△ABC面積的最大值．

18．（本小題滿(mǎn)分12分）

一個(gè)口袋中裝有分別標(biāo)記著數(shù)字1、2、3、4的4個(gè)球，從這只口袋中每次取出1個(gè)球，取出后再放回，連續(xù)取三次，設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為隨機(jī)變量ξ．

（Ⅰ）求ξ=3時(shí)的概率；

（Ⅱ）求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

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19．（本小題滿(mǎn)分12分）

試題詳情

如圖3，已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁C₁C是面積為的菱形，∠ACC₁為銳角，側(cè)面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，且A₁B＝AB＝AC＝1．

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（Ⅰ）求證：AA₁⊥BC₁；

（Ⅱ）求A₁到平面ABC的距離；

（Ⅲ）求二面角B－AC－C₁的余弦值．

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20．（本小題滿(mǎn)分12分）

試題詳情

設(shè)向量，（），函數(shù)在上的最小值與最大值的和為；數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足：．

試題詳情

（Ⅰ）求和的表達(dá)式；

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（Ⅱ）令，試問(wèn)：在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有成立？證明你的結(jié)論．

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21．（本小題滿(mǎn)分12分）

試題詳情

如圖4，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，M是橢圓C的上頂點(diǎn)，橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)N，且，．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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（Ⅱ）若⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，直線(xiàn)l：與⊙O相切，并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B．當(dāng)，且滿(mǎn)足時(shí)，求△AOB面積S的取值范圍．

試題詳情

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22．（本小題滿(mǎn)分14分）

試題詳情

已知函數(shù)．

試題詳情

（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

試題詳情

（Ⅱ）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

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（Ⅲ）求證：．

資陽(yáng)市2008―2009學(xué)年度高中三年級(jí)第二次高考模擬考試

試題詳情

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分．解答要寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴，

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取＂＝＂．

故△ABC面積取最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三個(gè)球中數(shù)字最大者為3．

①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率；??????????????????????????????????????? 1分

②三次取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率；???????????????????? 3分

③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率．????????????????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k時(shí), 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．???????? 8分

則ξ的概率分布列為：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等邊三角形，設(shè)O是AA₁的中點(diǎn)，連接BO，則BO⊥AA₁． 2分

∵側(cè)面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面積為，知C到AA₁的距離為，，∴△AA₁C₁是等邊三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．則，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

設(shè)是平面ABC的一個(gè)法向量，

則即

令，則．設(shè)A₁到平面ABC的距離為d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個(gè)法向量是，又平面ACC₁的一個(gè)法向量． 9分

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），對(duì)稱(chēng)軸方程為，故函數(shù)在[0,1]上為增函數(shù)，∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

當(dāng)時(shí)，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∵ ①

∴ ②

②-①得，即，?????????????????????????????????????????????????? 4分

則，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

∴，∴．?????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????????????????????????????????????????????? 7分

可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

即?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

可知存在正整數(shù)或6，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有成立．???????????? 12分

21．解：（Ⅰ）設(shè)，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，．

∴橢圓的方程為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圓O與直線(xiàn)l相切，則，即,????????????????????????????????? 5分

由消去y得．

∵直線(xiàn)l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，設(shè)，

，

∴，，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

∴，

由，，．?????????????????? 8分

．???????????????????????????????????????? 9分

（或）．

設(shè)，則，，，

令，則，

∴在時(shí)單調(diào)遞增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴S關(guān)于μ在區(qū)間單調(diào)遞增，，，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

（或，

∴S關(guān)于u在區(qū)間單調(diào)遞增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∵，，．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>，，則， 1分

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即為，?????????????????????????????????????????? 4分

記，∴，??????? 5分

令，則，∵，∴，在上遞增，

∴，從而，故在上也單調(diào)遞增，

∴，

∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??????????? 8分

令則，????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴，

，

………

，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

疊加得：

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

則，

∴.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分

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