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（2012•資陽二模）如圖，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-DE-A的大小．

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（2013•資陽二模）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，側(cè)棱AA₁⊥面ABC，D、E分別是棱A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E-BC₁-D的余弦值．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴，

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取＂＝＂．

故△ABC面積取最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3．

①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率；??????????????????????????????????????? 1分

②三次取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率；???????????????????? 3分

③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率．????????????????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k時, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．???????? 8分

則ξ的概率分布列為：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等邊三角形，設(shè)O是AA₁的中點(diǎn)，連接BO，則BO⊥AA₁． 2分

∵側(cè)面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面積為，知C到AA₁的距離為，，∴△AA₁C₁是等邊三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．則，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

設(shè)是平面ABC的一個法向量，

則即

令，則．設(shè)A₁到平面ABC的距離為d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC₁的一個法向量．   9分

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），對稱軸方程為，故函數(shù)在[0,1]上為增函數(shù)，∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

當(dāng)時，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????????????????????????????????????????? 4分

則，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

∴，∴．?????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????????????????????????????????????????????? 7分

可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．

即?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

可知存在正整數(shù)或6，使得對于任意的正整數(shù)n，都有成立．???????????? 12分

21．解：（Ⅰ）設(shè)，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，．

∴橢圓的方程為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????????????????????????????? 5分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個不同點(diǎn)，設(shè)，

，

∴，，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

∴，

由，，．?????????????????? 8分

．???????????????????????????????????????? 9分

（或）．

設(shè)，則，，，

令，則，

∴在時單調(diào)遞增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴S關(guān)于μ在區(qū)間單調(diào)遞增，，，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

（或，

∴S關(guān)于u在區(qū)間單調(diào)遞增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∵，，．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>，，則，     1分

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即為，?????????????????????????????????????????? 4分

記，∴，??????? 5分

令，則，∵，∴，在上遞增，

∴，從而，故在上也單調(diào)遞增，

∴，

∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??????????? 8分

令則，????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴，

，

，

………

，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

疊加得：

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

則，

∴.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分