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例1. 的值是_________________。

解：從組合數定義有：

又  ，代入再求，得出466。

例2. 到橢圓右焦點的距離與到定直線x＝6距離相等的動點的軌跡方_______________。

解：據拋物線定義，結合圖知：

軌跡是以（5，0）為頂點，焦參數P＝2且開口方向向左的拋物線，故其方程為：

（二）直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發、利用定理、性質、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果。

例3設其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實數m =              。

解：∵，∴∴，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。

例4已知函數在區間上為增函數，則實數a的取值范圍是      。

解：，由復合函數的增減性可知，在上為增函數，∴，∴。

例5現時盛行的足球彩票，其規則如下：全部13場足球比賽，每場比賽有3種結果：勝、平、負，13長比賽全部猜中的為特等獎，僅猜中12場為一等獎，其它不設獎，則某人獲得特等獎的概率為         。

解：由題設，此人猜中某一場的概率為，且猜中每場比賽結果的事件為相互獨立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎的概率為。

（三）特殊化法

當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結果。

例6 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數列，則             。

解：特殊化：令，則△ABC為直角三角形，，從而所求值為。

例7 過拋物線的焦點F作一直線交拋物線交于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則           。

分析：此拋物線開口向上，過焦點且斜率為k的直線與拋物線均有兩個交點P、Q，當k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數和應為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進行求解，而不失一般性。

解：設k = 0，因拋物線焦點坐標為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。

例8  求值         。

分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令，得結果為。

例9如果函數f(x)=x²+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小關系是 

解：  由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對稱軸是x=2。可取特殊函數f(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

 例10已知等差數列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比數列，則的值是          。

解：  考慮到a₁,a₃,a₉的下標成等比數列，故可令a_n=n滿足題設條件，于是=。

例11橢圓+=1的焦點為F₁、F₂，點P為其上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是               。

解：  設P(x,y)，則當∠F₁PF₂=90°時，點P的軌跡方程為x²+y²=5，由此可得點P的橫坐標x=±，又當點P在x軸上時，∠F₁PF₂=0；點P在y軸上時，∠F₁PF₂為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是-<x<。

（四）數形結合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能數中思形，以形助數，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結果。

例12   如果不等式的解集為A，且，那么實數a的取值范圍是          。

解：根據不等式解集的幾何意義，作函數和函數的圖象（如圖），從圖上容易得出實數a的取值范圍是。

例13  已知實數x、y滿足，則的最大值是         。

解：可看作是過點P（x，y）與M（1，0）的直線的斜率，其中點P的圓上，如圖，當直線處于圖中切線位置時，斜率最大，最大值為。

（五）等價轉化法

通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果。

例14  不等式的解集為（4，b），則a=           ，b=          。

解：設，則原不等式可轉化為：∴a > 0，且2與是方程的兩根，由此可得：。

例15  不論k為何實數，直線與曲線恒有交點，則實數a的取值范圍是        。

解：題設條件等價于點（0，1）在圓內或圓上，或等價于點（0，1）到圓，

∴。

例16  函數單調遞減區間為             。

解：易知∵y與y²有相同的單調區間，而，∴可得結果為。

    總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準確地解數學填空題的關鍵。

（六） 淘汰法

當全部情況為有限種時，也可采用淘汰法。

例17. 已知，則與同時成立的充要條件是____________。

解：按實數b的正、負分類討論。

當b>0時，而等式不可能同時成立；

當b＝0時，無意義；

當b<0時，若a<0，則兩不等式不可能同時成立，以上三種情況均被淘汰，故只能為a>0，b<0，容易驗證，這確是所要求的充要條件。