安徽省宿州二中2008―2009學年度高三模擬考試（3）
數學試題(理)
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分，測試時間120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
注意事項：
1．答第1卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目寫在答題卡上.
2．每小題選出答案后，用HB或者2B鉛筆把答題卡上的對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.不能答在試題卷上.
一、選擇題：本大題共12個小題. 每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1、設函數
的定義域為集合M，集合N＝
，則
A．
B．N C．
D．M
2、已知橢圓的長軸長是短軸長的
倍，則橢圓的離心率等于
A．
B．
C．
D．
3、如果執行的程序框圖（右圖所示），那么輸出的
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
4、若曲線
的一條切線
與直線
垂直，則切線的方程為、
A、
B、
C、
D、
5、方程
有實根的概率為
A、
B、
C、
D、
6、已知
是平面，
是直線，則下列命題中不正確的是、
A、若
∥
，則
B、若∥
，則∥
C、若
，則
∥
D、若
，則
7、一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“
”圖案，
如圖所示，設小矩形的長、寬分別為
、
，剪去部分的面積為
，
若
，記
，則的圖象是
8、將函數
的圖象先向左平移
，然后將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的
倍（縱坐標不變），則所得到的圖象對應的函數解析式為
A．
B．
C． 
D．
第2卷（非選擇題，共110分）
二、填空題：本大題共7小題，其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分．每小題5分，滿分30分．
9、已知向量
，
，若
，則實數的值等于
．
10、已知
，則
=
．
11、
是虛數單位，則
．
12、函數
由下表定義：
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
若
，
，
，則
．
13、(坐標系與參數方程選做題)曲線
：
上的點到曲線
：
上的點的最短距離為
．
14、(不等式選講選做題)已知實數
滿足
，則
的最大值為
．
15、(幾何證明選講選做題)如圖，平行四邊形
中，
，若
的面積等于1cm
,
則
的面積等于
cm．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16、（本小題滿分12分）
設正項等比數列
的前項和為
, 已知
，
．
（1）求首項
和公比
的值；
（2）若
，求的值．
17、（本小題滿分12分）
設函數
．
（1）求函數的最小正周期和單調遞增區間；
（2）當
時，的最大值為2，求
的值，并求出
的對稱軸方程．
18、（本小題滿分14分）
一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球．
（1）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；
（2）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數的期望和方差.
（方差：
）
19、（本小題滿分14分）
如圖，已知四棱錐
的底面是菱形；
平面,
，點
為
的中點．
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的正切值．
20、（本小題滿分14分）
給定圓P:
及拋物線S:
,過圓心
作直線,此直線與上述兩曲線的四個交點,自上而下順次記為
,如果線段
的長按此順序構成一個等差數列,求直線的方程.
21、（本小題滿分14分）
設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程
有實數根；②
函數的導數
滿足
”．
（1）判斷函數
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意[m，n]
D，都存在
[m，n]，使得等式
成立”，試用這一性質證明：方程
只有一個實數根；
（3）設
是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的
，當
，且
時，
．
一、選擇題：
l 題號
l
l
l
l
l
l
l
l
l 答案
l
l
l
l
l
l
l
l
1、解析：
，N＝
，
即
．答案：．
2、解析：由題意得
，
又
．
答案：．
3、解析：程序的運行結果是
．答案：．
4、解析：與直線
垂直的切線
的斜率必為4，而
，所以，切點為
．切線為
，即
，答案：．
5、解析：由一元二次方程有實根的條件
，而
，由幾何概率得有實根的概率為
．答案：．
6、解析：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，所以正確；如果兩個平面與同一條直線垂直，則這兩個平面平行，所以正確；
如果一個平面經過了另一個平面的一條垂線，則這兩個平面平行，所以也正確；
只有選項錯誤．答案：．
7、解析：由題意，得
，答案：．
8、解析：
的圖象先向左平移
，橫坐標變為原來的倍
．答案：．
二、填空題：
l 題號
l
l
l
l
l
l
l
l 答案
l
l
l
l
l
l
l
9、解析：若
，則
，解得
．
10、解析：由題意
．
11、解析：
12、解析：令
，則
，令
，則
，
令
，則
，令
，則
，
令
，則
，令
，則
，
…，所以
．
13、解析：
：
；則圓心坐標為
．
：
由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離為
，所以要求的最短距離為
．
14、解析：由柯西不等式
，答案：．
15、解析：顯然
與
為相似三角形，又
，所以的面積等于9cm
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16、解: (1)
, ………………………
2分
∴
，…………………………………………………
4分
解得
．………………………………………………………………… 6分
(2)由
,得：
,
……………………… 8分
∴
…………………………………
10分
∴
．……………………………………………………………
12分
17、解：（1）
… 2分
則
的最小正周期
， …………………………………4分
且當
時單調遞增．
即
為的單調遞增區間（寫成開區間不扣分）．……6分
（2）當
時
，當
，即
時
．
所以
． …………………………9分
為的對稱軸．
…………………12分
18、解：
（1）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件，………………………2分
∵“兩球恰好顏色不同”共
種可能，…………………………5分
∴
．
……………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作獨立重復實驗， …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率為
．………………………………5分
∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為
．
…………………7分
（2）設摸得白球的個數為
，依題意得：
，
，
．
… 10分
∴
，……………………………………12分
．……………………14分
19、(1)證明:
連結
，
與交于點
，連結
.………………………1分
是菱形, ∴是的中點. ………………………………………2分
點
為
的中點, ∴
. …………………………………3分
平面
平面
, ∴
平面. ……………… 6分
(2)解法一:
平面,
平面,∴ 
.
，∴
. …………………………… 7分
是菱形, ∴
.
，
∴
平面
.
…………………………………………………………8分
作
，垂足為
，連接
，則
,
所以
為二面角
的平面角. ………………………………… 10分
,∴
，
.
在Rt△
中,
=
，……………………………
12分
∴
.…………………………… 13分
∴二面角
的正切值是
. ………………………… 14分
解法二：如圖，以點為坐標原點，線段
的垂直平分線所在直線為
軸，
所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立空間直角坐標系，令
，……………2分
則
，
,
．
∴
． ……………4分
設平面
的一個法向量為
,
由
，得
，
令
，則
，∴
. …………………7分
平面,平面,
∴. ………………………………… 8分
，∴.
是菱形,∴.
，∴平面.…………………………… 9分
∴
是平面的一個法向量,
．…………………
10分
∴
，
∴
， …………………… 12分
∴
．……………………………………
13分
∴二面角的正切值是. ……………………… 14分
20、解:圓
的方程為
,則其直徑長
,圓心為
,設的方程為
,即
,代入拋物線方程得:
,設
，
有
, ………………………………2分
則
. ……………………4分
故
…6分
, ………… 7分
因此
.
………………………………… 8分
據等差,
, …………… 10分
所以
，即
,
，…………… 12分
即：方程為
或
. …………………14分
21、解：
（1）因為
，
…………………………2分
所以
，滿足條件
. …………………3分
又因為當
時，
，所以方程
有實數根
．
所以函數
是集合M中的元素． …………………………4分
（2）假設方程存在兩個實數根
同步練習冊答案
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