題目列表(包括答案和解析)
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①若l⊥α,l∥β,則α⊥β;
②若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,則m⊥β;
③若l
β且m和l不互相垂直，則m和β不互相垂直；
④若α⊥β,l∥α，則l⊥β.
其中正確的命題是
A.②③ B.②④ C.①③ D.③④
①若l⊥α,l∥β,則α⊥β;
②若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,則m⊥β;
③若l
β且m和l不互相垂直，則m和β不互相垂直；
④若α⊥β,l∥α，則l⊥β.
其中正確的命題是
A.②③ B.②④ C.①③ D.③④
一、選擇題：
l 題號
l
l
l
l
l
l
l
l
l 答案
l
l
l
l
l
l
l
l
1、解析：
，N＝
，
即
．答案：．
2、解析：由題意得
，
又
．
答案：．
3、解析：程序的運行結果是
．答案：．
4、解析：與直線
垂直的切線
的斜率必為4，而
，所以，切點為
．切線為
，即
，答案：．
5、解析：由一元二次方程有實根的條件
，而
，由幾何概率得有實根的概率為
．答案：．
6、解析：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，所以正確；如果兩個平面與同一條直線垂直，則這兩個平面平行，所以正確；
如果一個平面經過了另一個平面的一條垂線，則這兩個平面平行，所以也正確；
只有選項錯誤．答案：．
7、解析：由題意，得
，答案：．
8、解析：
的圖象先向左平移
，橫坐標變為原來的倍
．答案：．
二、填空題：
l 題號
l
l
l
l
l
l
l
l 答案
l
l
l
l
l
l
l
9、解析：若
，則
，解得
．
10、解析：由題意
．
11、解析：
12、解析：令
，則
，令
，則
，
令
，則
，令
，則
，
令
，則
，令
，則
，
…，所以
．
13、解析：
：
；則圓心坐標為
．
：
由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離為
，所以要求的最短距離為
．
14、解析：由柯西不等式
，答案：．
15、解析：顯然
與
為相似三角形，又
，所以的面積等于9cm
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16、解: (1)
, ………………………
2分
∴
，…………………………………………………
4分
解得
．………………………………………………………………… 6分
(2)由
,得：
,
……………………… 8分
∴
…………………………………
10分
∴
．……………………………………………………………
12分
17、解：（1）
… 2分
則
的最小正周期
， …………………………………4分
且當
時單調遞增．
即
為的單調遞增區間（寫成開區間不扣分）．……6分
（2）當
時
，當
，即
時
．
所以
． …………………………9分
為的對稱軸．
…………………12分
18、解：
（1）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件，………………………2分
∵“兩球恰好顏色不同”共
種可能，…………………………5分
∴
．
……………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作獨立重復實驗， …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率為
．………………………………5分
∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為
．
…………………7分
（2）設摸得白球的個數為
，依題意得：
，
，
．
… 10分
∴
，……………………………………12分
．……………………14分
19、(1)證明:
連結
，
與交于點
，連結
.………………………1分
是菱形, ∴是的中點. ………………………………………2分
點
為
的中點, ∴
. …………………………………3分
平面
平面
, ∴
平面. ……………… 6分
(2)解法一:
平面,
平面,∴ 
.
，∴
. …………………………… 7分
是菱形, ∴
.
，
∴
平面
.
…………………………………………………………8分
作
，垂足為
，連接
，則
,
所以
為二面角
的平面角. ………………………………… 10分
,∴
，
.
在Rt△
中,
=
，……………………………
12分
∴
.…………………………… 13分
∴二面角
的正切值是
. ………………………… 14分
解法二：如圖，以點為坐標原點，線段
的垂直平分線所在直線為
軸，
所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立空間直角坐標系，令
，……………2分
則
，
,
．
∴
． ……………4分
設平面
的一個法向量為
,
由
，得
，
令
，則
，∴
. …………………7分
平面,平面,
∴. ………………………………… 8分
，∴.
是菱形,∴.
，∴平面.…………………………… 9分
∴
是平面的一個法向量,
．…………………
10分
∴
，
∴
， …………………… 12分
∴
．……………………………………
13分
∴二面角的正切值是. ……………………… 14分
20、解:圓
的方程為
,則其直徑長
,圓心為
,設的方程為
,即
,代入拋物線方程得:
,設
，
有
, ………………………………2分
則
. ……………………4分
故
…6分
, ………… 7分
因此
.
………………………………… 8分
據等差,
, …………… 10分
所以
，即
,
，…………… 12分
即：方程為
或
. …………………14分
21、解：
（1）因為
，
…………………………2分
所以
，滿足條件
. …………………3分
又因為當
時，
，所以方程
有實數根
．
所以函數
是集合M中的元素． …………………………4分
（2）假設方程存在兩個實數根
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