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例1．①將數字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第個數為，若，，，，則不同的排列方法種數為（ B  ）

A．18              B．30                    C．36                   D．48

②某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A_1、B₁、C₁上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有        種. 216

③某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種．小張用10元錢買雜志(每種至多買一本，10元錢剛好用完)，則不同買法的種數是__________．266

變式：

1．如圖一環形花壇分成四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊內

種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（ B ）

A．96                B．84                C．60                D．48

2．12名同學合影，站成前排4人后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數是(  C  )

A．            B．               C．            D．

題型二、二項式定理的應用

例2．①若對于任意實數，有，則的值為（ B  ）

A．              B．           C．              D．

②如果的展開式中含有非零常數項，則正整數的最小值為（　C　）

Ａ．10                  Ｂ．6                Ｃ．5                    Ｄ．3

變式：

1．設，則的值為（　A　）

Ａ．                    Ｂ．                Ｃ．                      Ｄ．

2．展開式中的系數為­___________ -6

例3.為做好食品安全工作，上級質檢部門決定對甲、乙兩地的出口食品加工企業進行一次抽檢.已知甲地有蔬菜加工企業2家，水產品加工企業3家；乙地有蔬菜加工企業3家，水產品加工企業4家，現從甲、乙兩地各任意抽取2家企業進行檢查.

①求抽出的4家企業中恰有一家為蔬菜加工企業的概率；

②求抽出的水產品加工企業的家數不少于蔬菜加工企業家數的概率.

解：①

② ，，

    ，

例4.某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續參加科目B的考試。已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書。現某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試成績合格的概率均為。假設各次考試成績合格與否均互不影響.

（1）求他不需要補考就可獲得證書的概率；

（2）求他在這項考試過程中，恰好參加了一次補考且獲得證書的概率。

解: 設“科目A第一次考試合格”為事件，“科目A補考合格”為事件A₂；“科目B第一次考試合格”

為事件，“科目B補考合格”為事件，

 (1)不需要補考就獲得證書的事件為A₁?B₁,注意到A₁與B₁相互獨立，

則該考生不需要補考就獲得證書的概率為

（2)

變式：

1．甲、乙兩名跳高運動員一次試跳米高度成功的概率分別是，，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：

（Ⅰ）甲試跳三次，第三次才成功的概率；

（Ⅱ）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；

（Ⅲ）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率．

解：記“甲第次試跳成功”為事件，“乙第次試跳成功”為事件，依題意得，，且，（）相互獨立．

（Ⅰ）“甲第三次試跳才成功”為事件，且三次試跳相互獨立，

．

（Ⅱ）“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件．

，且，，彼此互斥，

．

（Ⅲ）設“甲在兩次試跳中成功次”為事件，“乙在兩次試跳中成功次”為事件，事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次”可表示為，且，為互斥事件，所求的概率為

2．盒子里裝有大小相同的球8個，其中三個1號球，三個2號球，兩個3號球，第一次從盒子中先任取一個球，放回后第二次再任取一個球。

（1）求第一次與第二次取到的球上的號碼的和是4的概率；

（2）記第一次與第二次取到的球的號碼的積小于6的概率。

解：（1）記“第一次與第二次取到的球上的號碼的和是4”為事件A，則_，

所以第一次與第二次取到的球上的號碼的和是4的概率是

（2）記“第一次與第二次取到的球的號碼的積小于6”為事件B，則_，

所以第一次與第二次取到的球的號碼的積小于6的概率

例5．①為了了解某學校學生的身體發育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖如右圖所示．根據此圖，估計該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數為（  B  ）

A．300             B．360           C．420                D．450

②某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測。若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是( C  )

（A）4                        （B）5                        （C）6                 （D）7

變式：

1．一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工________________人．10

2．某交高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調查.這種抽樣方法是  (  D  )

(A)簡單隨機抽樣法     (B)抽簽法      (C)隨機數表法              (D)分層抽樣法

反饋練習

1．如右圖，機器人亮亮從A地移動到B地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從A移動到B最近的走法共有（ B ）種。

A．36                    B．60                   C．80                   D．59

2．為了解一片經濟林的生長情況，隨機測量了其中100株樹林的底部周長（單位：cm）。根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖（如右），那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數是（ C  ）

A、30                B、60               C、70                 D、80

3．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則為“3局2勝”，即以先贏2局者為勝．根據經驗，每局比賽中甲獲勝的概率為0．6，則本次比賽甲獲勝的概率是(  D  )

   (A) 0．216       (B)0．36        (C)0．432       (D)0．648

4．將5本不同的書全發給4名同學，每名同學至少有一本書的概率是（  A  ）

A．             B．           C．             D．

5．一袋中裝有大小相同，編號分別為的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號和不小于15的概率為（　D　）

Ａ．               Ｂ．               Ｃ．               Ｄ．

6．已知，則( 的值等于

-256

7．二項式的展開式的各項系數和大于32小于128，則展開式中系數最大的項是      . 20　

8．在一個袋子中裝有分別標注數字1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標注的數字外完全相同．現從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率為               ．

9．一個壇子里有編號為1，2，…，12的12個大小相同的球，其中1到6號球是紅球，其余的是黑球．若從中任取兩個球，則取到的都是紅球，且至少有1個球的號碼是偶數的概率為              ．

10．在五個數字中，若隨機取出三個數字，則剩下兩個數字都是奇數的概率是        ．

11．某地區為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%. 假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．

（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；

（II）任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過培養的概率．

解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓”為事件，“該人參加過計算機培訓”為事件，由題設知，事件與相互獨立，且，．

（I）任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓的概率是

所以該人參加過培訓的概率是．

（II）任選3名下崗人員，3人中只有2人參加過培訓的概率是．

3人都參加過培訓的概率是．所以3人中至少有2人參加過培訓的概率是．

12．栽培甲、乙兩種果樹，先要培育成苗，然后再進行移栽．已知甲、乙兩種果樹成苗的概率分別為，，移栽后成活的概率分別為，．

（1）求甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苗的概率；

（2）求恰好有一種果樹能培育成苗且移栽成活的概率．

解：分別記甲、乙兩種果樹成苗為事件，；分別記甲、乙兩種果樹苗移栽成活為事件，，，，，．

（1）甲、乙兩種果樹至少有一種成苗的概率為

；

（2）分別記兩種果樹培育成苗且移栽成活為事件，則，．恰好有一種果樹培育成苗且移栽成活的概率為

．

  （Ⅰ）求該選手進入第四輪才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求該選手至多進入第三輪考核的概率. 

解：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則

，，，該選手進入第四輪才被淘汰的概率

．

（Ⅱ）該選手至多進入第三輪考核的概率

．

14．設進入健身中心的每一位健身者選擇甲種健身項目的概率是，選擇乙種健身項目的概率是，且選擇甲種與選擇乙種健身項目相互獨立，各位健身者之間選擇健身項目是相互獨立的。

（Ⅰ）求進入該健身中心的1位健身者選擇甲、乙兩種項目中的一項的概率；

（Ⅱ）求進入該健身中心的4位健身者中，至少有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目的概率。

解：（Ⅰ）記A表示事件：進入該健身中心的1位健身者選擇的是甲種項目，B表示事件：進入該健身中心的1位健身者選擇的是乙種項目，則事件A與事件B相互獨立，P（A）＝，P（B）＝。

故進入該健身中心的1位健身者選擇甲、乙兩種項目中的一項的概率為：P＝＝P（A）＋＝。

（Ⅱ）記C表示事件：進入該健身中心的1位健身者既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，D表示事件：進入該健身中心的4位健身者中，至少有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，A₂表示事件：進入該健身中心的4位健身者中恰有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，A₃表示事件：進入該健身中心的4位健身者中恰有3位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，A₄表示事件：進入該健身中心的4位健身者中恰有4位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，則P（C）＝，

，

，

。