安徽省泗縣一中2009年高三模擬試題（四月）數學（文）
本試卷分第I卷和第II卷兩部分。
考試時間為120分鐘，滿分為150分。
參考公式：
三棱錐的體積公式
，其中
表示三棱錐的底面面積，
表示三棱錐的高。
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知集合
，
，則
=
A．
B．
C．
D．
2．已知命題
A．
B．
C．
D．
3．向量
=（1，-2），
=（6，3），則與的夾角為
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c, 已知A=
, a=
, b=1，則c=
A．1
B．―1 D．
5．已知兩條直線
，兩個平面
，給出下面四個命題：
①
②
③
④
其中正確命題的序號是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
6． 函數
的部分圖象如圖，則
A．
＝
，
＝
B．＝
,＝
C．＝,＝ D．＝,＝
7. 如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角
三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的表面積為
A．
B．
C．
D．
8. 已知點F1、F2分別是橢圓
的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF2為正三角形，則該橢圓的離心率是
A．
B. 
C. 
D. 
9. 對于實數x，符號[x]表示不超過x的最大整數，例如
定義函數
則下列命題中正確的是
A．
B．方程
有且僅有一個解
C．函數
是周期函數 D．函數是增函數
10．如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相聯。連線標注的數字
表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量。現從結點
向結點
傳遞信息，信息可
以分開沿不同的路線同時傳遞。則單位時間內傳遞的最大信息量為
A．26 B．24
C．20 D．19
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
11．等差數列
的前
項和為
，若
．
12．如圖，在直四棱柱A1B
時，有A
（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）
13．直線
始終平分圓
的周長，則
的最小值為
．
14．某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項
目乙投資的
倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4
萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規劃投資后，在兩
個項目上共可獲得的最大利潤為 萬元．
三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．（本小題滿分12分）
已知向量
,函數
（1）求的最小正周期;
（2）當
時, 若
求
的值．
16．（本小題滿分12分）
已知函數
，常數
（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數在
上為增函數，求
的取值范圍．
17．（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點E、F
分別為棱AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求三棱錐C－BEP的體積．
18．（本小題滿分14分）
設
是公比大于1的等比數列，為數列的前
項和．已知
，且
構成等差數列．
（1）求數列的通項；
（2）令
求數列
的前項和
．
19．（本小題滿分14分）
已知動圓過定點
，且與直線
相切.
（1）求動圓的圓心軌跡
的方程；
（2）是否存在直線
，使過點（0，1），并與軌跡交于
兩點，且滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
20．（本小題滿分14分）
已知
，且三次方程
有三個實根
．
（1）類比一元二次方程根與系數的關系，寫出此方程根與系數的關系；
（2）若
，在
處取得極值且
，試
求此方程三個根兩兩不等時
的取值范圍．
一、選擇題（每小題5分，共50分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
C
C
A
D
C
D
二、填空題（每小題5分，共20分）
11. 8 ； 12. AC⊥BD （ ABCD是正方形或菱形）；
13. 
； 14. 
；
三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分12分）
解：（1） 
…………………………1分
………………………………2分
. ………………………………………4分
的最小正周期是
. …………………………………6分
（2）由
得
…………………….8分
∵
，∴
∴
…………10分
∴ 
………………………………………………12分
16.（本小題滿分12分）
解：（1）當
時，
，對任意
為偶函數 ……………………3分
當
時，
取
，得 
函數
既不是奇函數，也不是偶函數……6分
（2）解法一：要使函數在
上為增函數等價于
在上恒成立 ……………8分
即
在上恒成立，故
在上恒成立
∴
…………………………………10分
∴ 
的取值范圍是
………………………………12分
解法二：設
………8分
要使函數在上為增函數，必須
恒成立
，即
恒成立 …………………………………10分
又
，
的取值范圍是 ………………………………12分
17.（本小題滿分14分）
證明: （1）取PC的中點G，連結FG、EG
∴FG為△CDP的中位線 ∴FG
CD……1分
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點
∴ABCD ∴FG
AE
∴四邊形AEGF是平行四邊形 ………………2分
∴AF∥EG ………3分
又EG
平面PCE，AF
平面PCE ………4分
∴AF∥平面PCE ………………………………………5分
（2）∵ PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA
AD=A
∴CD⊥平面ADP
又AF平面ADP
∴CD⊥AF ……………………………… 6分
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD為等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2 ………………………… 7分
∵F是PD的中點
∴AF⊥PD，又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD ……………………………… 8分
∵AF∥EG
∴EG⊥平面PCD …………………………… 9分
又EG平面PCE
平面PCE⊥平面PCD …………………………… 10分
（3）三棱錐C－BEP即為三棱錐P－BCE ……………………………11分
PA是三棱錐P－BCE的高，
Rt△BCE中，BE=1，BC=2，
∴三棱錐C－BEP的體積
VC－BEP=VP－BCE=
… 14分
18.（本小題滿分14分）
解：（1）由已知得
解得
．…………………1分
設數列
的公比為
，由，可得
．
又
，可知
，即
， …………………4分
解得
．
由題意得
． 
．…………………………………………
6分
故數列的通項為
． …
……………………………………8分
（2）由于
由（1）得
=
………………………………………10分
又
是首項為
公差為的等差數列
……………12分
…………………………14分
19．（本小題滿分14分）
解：（1）如圖，設
為動圓圓心， 
，過點作直線
的垂線，垂足為
，由題意知： 
……………………………………2分
即動點到定點與到定直線的距離相等，
由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中
為焦點，
為準線，
∴動圓圓心的軌跡方程為
……………………………………5分
（2）由題可設直線
的方程為
由
得
△
，
………………………………………………7分
設
，
，則
，
………………………9分
由
，即 
，
，于是
，……11分
即
，
，
，解得
或
（舍去）， …………………13分
又
， ∴ 直線存在，其方程為
……………14分
20.（本小題滿分14分）
解：（1）由已知，得
，比較兩邊系數，
得
． ……………………4分
（2）令
，要
有三個不等的實數根，則函數有
一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0． …………5分
由已知，得
有兩個不等的實根
，
，
得
．……… 6分
又
，
，將
代入（1）（3），有
，又
．
，
………8分
則
，且在
處取得極大值，在
處取得極小值10分 故要有三個不等的實數根，
則必須
………………
12分
解得
．
………………… 14分
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