題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）如圖，四棱錐
的底面是正方形，
，點E在棱PB
上
.（Ⅰ）求證：平面
； 
（Ⅱ）當
且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.
（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐
中，
平面
，底面
為矩形，
，
，
為
的中點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積；
（Ⅲ）
邊上是否存在一點
，使得
平面
，若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由．
（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐
中，底面
是直角梯形，
，
，
側面
，△是等邊三角形，
， 
，
是線段
的中點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求四棱錐的體積；
（Ⅲ）求
與平面
所成角的正弦值．
（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐
的底面
為菱形，
平面，
，
、
分別為
、
的中點。
（I）求證：
平面
；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積；
（Ⅲ）求平面與平面
所成的銳二面角大小的余弦值。
（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90 ，且BC=2AD=2，AB=4，SA=3.
（1）求證：平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分別為線段BC、SB上的一點（端點除外），滿足
.（
）
①求證：對于任意的
，恒有SC∥平面AEF；
②是否存在
，使得△AEF為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的值；若不存在，說明理由.
一、選擇題（每小題5分，共50分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
C
C
A
D
C
D
二、填空題（每小題5分，共20分）
11. 8 ； 12. AC⊥BD （ ABCD是正方形或菱形）；
13. 
； 14. 
；
三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分12分）
解：（1） 
…………………………1分
………………………………2分
. ………………………………………4分
的最小正周期是
. …………………………………6分
（2）由
得
…………………….8分
∵
，∴
∴
…………10分
∴ 
………………………………………………12分
16.（本小題滿分12分）
解：（1）當
時，
，對任意
為偶函數 ……………………3分
當
時，
取
，得 
函數
既不是奇函數，也不是偶函數……6分
（2）解法一：要使函數在
上為增函數等價于
在上恒成立 ……………8分
即
在上恒成立，故
在上恒成立
∴
…………………………………10分
∴ 
的取值范圍是
………………………………12分
解法二：設
………8分
要使函數在上為增函數，必須
恒成立
，即
恒成立 …………………………………10分
又
，
的取值范圍是 ………………………………12分
17.（本小題滿分14分）
證明: （1）取PC的中點G，連結FG、EG
∴FG為△CDP的中位線 ∴FG
CD……1分
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點
∴ABCD ∴FG
AE
∴四邊形AEGF是平行四邊形 ………………2分
∴AF∥EG ………3分
又EG
平面PCE，AF
平面PCE ………4分
∴AF∥平面PCE ………………………………………5分
（2）∵ PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA
AD=A
∴CD⊥平面ADP
又AF平面ADP
∴CD⊥AF ……………………………… 6分
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD為等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2 ………………………… 7分
∵F是PD的中點
∴AF⊥PD，又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD ……………………………… 8分
∵AF∥EG
∴EG⊥平面PCD …………………………… 9分
又EG平面PCE
平面PCE⊥平面PCD …………………………… 10分
（3）三棱錐C－BEP即為三棱錐P－BCE ……………………………11分
PA是三棱錐P－BCE的高，
Rt△BCE中，BE=1，BC=2，
∴三棱錐C－BEP的體積
VC－BEP=VP－BCE=
… 14分
18.（本小題滿分14分）
解：（1）由已知得
解得
．…………………1分
設數列
的公比為
，由，可得
．
又
，可知
，即
， …………………4分
解得
．
由題意得
． 
．…………………………………………
6分
故數列的通項為
． …
……………………………………8分
（2）由于
由（1）得
=
………………………………………10分
又
是首項為
公差為的等差數列
……………12分
…………………………14分
19．（本小題滿分14分）
解：（1）如圖，設
為動圓圓心， 
，過點作直線
的垂線，垂足為
，由題意知： 
……………………………………2分
即動點到定點與到定直線的距離相等，
由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中
為焦點，
為準線，
∴動圓圓心的軌跡方程為
……………………………………5分
（2）由題可設直線
的方程為
由
得
△
，
………………………………………………7分
設
，
，則
，
………………………9分
由
，即 
，
，于是
，……11分
即
，
，
，解得
或
（舍去）， …………………13分
又
， ∴ 直線存在，其方程為
……………14分
20.（本小題滿分14分）
解：（1）由已知，得
，比較兩邊系數，
得
． ……………………4分
（2）令
，要
有三個不等的實數根，則函數有
一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0． …………5分
由已知，得
有兩個不等的實根
，
，
得
．……… 6分
又
，
，將
代入（1）（3），有
，又
．
，
………8分
則
，且在
處取得極大值，在
處取得極小值10分 故要有三個不等的實數根，
則必須
………………
12分
解得
．
………………… 14分
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