湖北省黃岡中學2009屆高三第一次模擬考試
數 學 試 題（理科）
命題：袁小幼 審稿：程金輝 校對：陳曉潔
本試卷滿分共150分，考試時間120分鐘．
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．“函數
存在反函數”是“函數
在R上減為函數”的（
）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．過原點和
在復平面內對應點的直線的傾斜角為（ ）
A．
B．
C．
D．
3．不等式
表示的平面區域為（ ）
4．過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則該截面的面積是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．右圖實線是函數
的圖象，它關于點A（a, a）對稱. 如果它是一條總體密度曲線，則正數a的值為（
）
A．
B．
6．已知a、b、m、n、x、y均為正數，且
，若a、m、b、x成等差數列，a、n、b、y成等比數列，則有（ ）
A．m>n, x>y B．m>n, x<y C．m<n, x<y D．m<n, x>y
7．正三棱錐V―ABC的底面邊長為
A．
B．
C．
D．
8．已知不等式
，對任意
恒成立，則a的取值范圍為（
）
A．
B．
C．（1，5） D．（2，5）
9．如圖所示，設P為△ABC所在平面內的一點，并且
則△ABP與△ABC的面積之比等于（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在如圖所示的10塊地上選出6塊種植A1、A2、…、A6等六個不同品種的蔬菜，每塊種植一種不同品種蔬菜，若A1、A2、A3必須橫向相鄰種在一起，A4、A5橫向、縱向都不能相鄰種在一起，則不同的種植方案有（ ）
A．3120 B．
把答案填在答題卡相應位置上)
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．函數
的定義域為
，值域為
，
則
的最小值為___________.
12．若雙曲線
的左焦點在拋物線
的準線上，則p的值為__________.
13．某種基金今天的指數是2，以后每一天的指數都比上一天的指數增加0.2%，則100天以后這種基金的指數約是___________（精確到0.001）.
14．已知函數
，若存在一個實數x，使與
均不是正數，則實數m的取值范圍是________________.
15．對大于或等于2的自然數m的n次冪進行如右圖的方式“分裂”，仿此，52的“分裂”中最大的數是__________，若m3的“分裂”中最小的數是211，則m的值為__________.
三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本小題滿分12分）
在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且
成等差數列.
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求
的范圍.
17．（本小題滿分12分）
在奧運會射箭決賽中，參賽號碼為1~4號的四名射箭運動員參加射箭比賽。
（Ⅰ）通過抽簽將他們安排到1~4號靶位，試求恰有兩名運動員所抽靶位號與其參賽號碼相同的概率；
（Ⅱ）記1號、2號射箭運動員射箭的環數為
（所有取值為0，1，2，3．．．，10）分別為
、
.根據教練員提供的資料，其概率分布如下表：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
0.06
0.04
0.06
0.3
0.2
0.3
0.04
0
0
0
0
0.04
0.05
0.05
0.2
0.32
0.32
0.02
①若1，2號運動員各射箭一次，求兩人中至少有一人命中9環的概率；
②判斷1號，2號射箭運動員誰射箭的水平高？并說明理由．
18．（本小題滿分12分）
如圖，已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
，點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足
，求
的最小值.
19．（本小題滿分12分）
如圖，在梯形ABCD中
，平面
平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點M在線段EF上.
（Ⅰ）求證：
平面ACFE；
（Ⅱ）當EM為何值時，
平面BDF？證明你的結論；
（Ⅲ）求二面角B―EF―D的大小.
20．（本小題滿分13分）
已知函數
.
（Ⅰ）判斷函數在區間上的單調性并加以證明；
（Ⅱ）求函數的值域；
（Ⅲ）如果關于x的方程
有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍.
21．（本小題滿分14分）
設函數
，
，數列
滿足：
.
（Ⅰ）當
時，比較x與的大小；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）求證：
．
1．B 2．D 3．A 4．A 5．A 6．B 7．B 8．B 9．C 10．C
11．
12．4 13．2.442 14．
15．9，15
16．（Ⅰ）
，∴
，
∴
，∴
（Ⅱ）
，∴
，
∴
17．（Ⅰ）從4名運動員中任取兩名，其靶位號與參賽號相同，有
種方法，另2名運動員靶位號與參賽號均不相同的方法有1種，所以恰有一名運動員所抽靶位號與參賽號相同的概率為 
（Ⅱ）①由表可知，兩人各射擊一次，都未擊中9環的概率為P=（1-0.3）（1-0.32）=0.476
至少有一人命中9環的概率為p=1-0.476=0.524
②
所以2號射箭運動員的射箭水平高.
18．（Ⅰ）設橢圓方程為
，則有
，∴a=6, b=3.∴橢圓C的方程為
（Ⅱ）
，設點
，則
∴
，∵
，∴
，∴
∴
的最小值為6.
19．（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵
，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且
∴
，∴
又∵平面
平面ABCD，交線為AC，∴
平面ACFE.
（Ⅱ）當
時，
平面BDF. 在梯形ABCD中，設
，連結FN，則
∵而
，∴
∴MF
AN，
∴四邊形ANFM是平行四邊形. ∴
又∵
平面BDF，
平面BDF. ∴平面BDF.
（Ⅲ）取EF中點G，EB中點H，連結DG、GH、DH，∵DE=DF，∴
∵平面ACFE，∴
又∵
，∴
又∵
，∴
∴
是二面角B―EF―D的平面角.
在△BDE中
∴
∴
，
∴
又又
∴在△DGH中，
由余弦定理得
即二面角B―EF―D的大小為
20．（Ⅰ）設
，
，
∴
在
單調遞增.
(Ⅱ)當
時，
，又
，
，即
；
當
時，
，
，由
，得
或
.
的值域為
（Ⅲ）當x=0時，
，∴x=0為方程的解.
當x>0時，
，∴
，∴
當x<0時，
，∴
，∴
即看函數
與函數
圖象有兩個交點時k的取值范圍,應用導數畫出
的大致圖象，
∴
，∴
21．（Ⅰ）當
時，
，∴
，令
有x=0，
當
單調遞減；當
單調遞增.
∴
∴
；
（Ⅱ）∵
，∴
∴
∴
為首項是1、公比為
的等比數列. ∴
∴
；
（Ⅲ）∵
，由（1）知
，
∴
，即證．
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