湖北省黃岡中學2009屆高三第一次模擬考試
數 學 試 題（文科）
命題：袁小幼 審稿：李新潮
本試卷滿分共150分，考試時間120分鐘．
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知點
和點
在直線
的兩側，則（ ）
A．
B．
C．
D．
2．設直線與平面所成角的大小范圍為集合
，二面角的平面角大小范圍為集合
，異面直線所成角的大小范圍為集合
，則
的關系為（ ）
A．
B．
C．
D．
3．“函數
存在反函數”是“函數
在R上減為函數”的（
）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．在某電視臺舉辦的“麥霸”歌手大獎賽上，五位歌手的分數如下：9.4、9.4、9.6、9.4、
9.7，則五位歌手得分的期望與方差分別為（ ）
A．9.4
0.484 B．9.4
5．在△ABC中，
，則B等于（ ）
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不對
6．過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則該截面的面積是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知a、b、m、n、x、y均為正數，且
，若a、m、b、x成等差數列，a、n、b、y成等比數列，則有（ ）
A．m>n, x>y B．m>n, x<y C．m<n, x<y D．m<n, x>y
8．從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（ ）
A．8種 B．12種 C．35種 D．34種
9．已知不等式
對任意
恒成立，則實數a的取值范圍為（
）
A．
B．
C．
D．
10．如圖所示，設P為△ABC所在平面內的一點，并且
則△ABP與△ABC的面積之比等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應位置上)
11. 已知
是圓
內一點，則過點
最長的弦所在的直線方程是______________.
12．
的最后一位數字是______________.
13．函數
的定義域為
，值域為
，則
的最小值為___________.
14．若雙曲線
的左焦點在拋物線
的準線上，則p的值為__________.
15．已知函數
，若存在一個實數x，使與
均不是正數，則實數m的取值范圍是________________.
三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本小題滿分12分）
解關于x的不等式
17．（本小題滿分12分）
同時拋擲15枚均勻的硬幣一次.
（Ⅰ）求至多有1枚正面向上的概率；
（Ⅱ）試問出現正面向上為奇數枚的概率與出現正面向上為偶數枚的概率是否相等？請說明理由.
18．（本小題滿分12分）
如圖，在梯形ABCD中
，平面
平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點M在線段EF上.
（Ⅰ）求證：
平面ACFE；
（Ⅱ）當EM為何值時，
平面BDF？證明你的結論.
19．（本小題滿分12分）
如圖，已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
，點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足
，求
的最小值.
20．（本小題滿分13分）
已知函數
.
（Ⅰ）判斷函數在區間
上的單調性并加以證明；
（Ⅱ）求函數的值域；
（Ⅲ）如果關于x的方程
有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍.
21．（本小題滿分14分）
在數列
中，
，數列的前n項和
滿足
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求
；
（Ⅲ）若
，求
1.C 2.B 3．B 4．D 5．C 6．A 7．B 8．B 9．D 10．C
11. 
12．1 13．
14．4 15．
16．當a>1時，有
，∴
，∴
，∴
，∴
當0<a<1時，有
，∴
.
綜上，當a>1時，
；當0<a<1時，
17．（Ⅰ）有0枚正面朝上的概率為
，有1枚正面朝上的概率為：
∴
（Ⅱ）出現奇數枚正面朝上的概率為：
∴出現偶數枚正面朝上的概率為
，∴概率相等.
18．（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵
，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且
∴
，∴
又∵平面
平面ABCD，交線為AC，∴
平面ACFE.
（Ⅱ）當
時，
平面BDF. 在梯形ABCD中，設
，連結FN，則
∵而
，∴
∴MF
AN，
∴四邊形ANFM是平行四邊形. ∴
又∵
平面BDF，
平面BDF. ∴平面BDF.
19．（Ⅰ）設橢圓方程為
，則有
，∴a=6, b=3.
∴橢圓C的方程為
（Ⅱ）
，設點
，則
∴
，
∵
，∴
，∴
∴
的最小值為6.
20．（Ⅰ）設
，
，
∴
在
單調遞增.
（Ⅱ）當
時，
，又
，
，即
；
當
時，
，
，由
，得
或
.
的值域為
（Ⅲ）當x=0時，
，∴x=0為方程的解.
當x>0時，
，∴
，∴
當x<0時，
，∴
，∴
即看函數
與函數
圖象有兩個交點時k的取值范圍，應用導數畫出
的大致圖象，∴
，∴
21．（Ⅰ）令n=1有，
，∴
，∴
.
（Ⅱ）∵
……① ∴當
時，有
……②
①-②有
，
∴
將以上各式左右兩端分別相乘，得
，∴
當n=1,2時也成立，∴
.
（Ⅲ）
，當
時，
，
∵
∴
當
時，
當
時，
當
時，
∴
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