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練習冊

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試題

湖北省八校2009年高考第二次聯(lián)考

鄂南高中黃岡中學黃石二中華師一附中孝感高中襄樊五中荊州中學襄樊四中

數學試題（文）

命題人：襄樊五中劉軍何宇飛審題人：襄樊四中何天海

考試時間：2009年3月27日下午15：00―17：30 試卷滿分：150分

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．成立的充要條件是：（）

A． B． C．且 D．或

2．設函數在區(qū)間上是增函數，則的取值范圍是（）

A． B． C． D．

3．已知、是不共線的向量，，，則、、三點共線的充要條件是：（）

A． B． C． D．

4．設映射是實數集M到實數集P的映射，若對于實數，在M中不存在原象，則的取值范圍是（）

A． B． C． D．

5．在數列中，若，且，則（）

A．2007 B．2008 C．2009 D．2010

6．要從10名女生和5名男生中選出6名學生組成課外興趣小組，如果按性別依比例分層隨機抽樣，則組成此課外興趣小組的概率為（）

A． B． C． D．

7．已知函數 (其中是自然對數的底數)的反函數為，則有（）

A． B．

C． D．

8．半徑為1的球面上有A，B，C三點，其中點A與B、C兩點間的球面距離均為，

B、C兩點間的球面距離為，則球心到平面的距離為（）

A． B C． D．

9．已知函數，對定義域內的任意，都滿足條件．若，，則有（）

A． B． C． D．

10．已知，若方程的兩個實數根可以分別作為一個橢圓和雙曲線的離心率，則（）

A． B． C． D．

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．

11．的常數項是（用數學作答）．

12．在中，，，所對的邊分別是，，，已知，則．

13．若實數，滿足條件，則目標函數的最大值為．

14．中，，以點為

一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一

個焦點在邊上，且這個橢圓過、

兩點，則這個橢圓的焦距長為．

15．已知函數為偶

函數，且滿足不等式，則的值為．

三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16．(本題滿分12分)已知向量，，，．函數，若的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一個對稱軸之間的距離為1，且過點．

(Ⅰ)求函數的表達式．

(Ⅱ)當時，求函數的單調區(qū)間．

17．(本題滿分12分)在某社區(qū)舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答對這道題的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是．

(Ⅰ)求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率．

(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率．

18．(本題滿分12分)如圖，已知正三棱柱的各棱長都為，為棱上的動點．

(Ⅰ)當時，求證：．

(Ⅱ) 若，求二面角的大小．

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，求點到平面的距離．

19．(本題滿分12分)已知函數，函數的圖像在點的切線方程是．

(Ⅰ)求函數的解析式：

(Ⅱ)若函數在區(qū)間上是單調函數，求實數的取值范圍．

20．(本題滿分13分)過軸上動點引拋物線的兩條切線，，，為切點．

(Ⅰ)若切線，的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值．

(Ⅱ) 求證：直線恒過定點，并求出定點坐標．

(Ⅲ)當最小時，求的值．

21．(本題滿分14分)已知數列中，，，其前項和滿足，令

(Ⅰ)求數列的通項公式；

(Ⅱ)令，求證：

①對于任意正整數，都有．

②對于任意的，均存在，使得時，．

一、

二、11.210 12. 13.2 14. 15. 或或

三．解答題：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由題意得周期，故…………………………………………4分

又圖象過點，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）當時，

∴當時，即時，是減函數

當時，即時，是增函數

∴函數的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是………………12分

17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：

……………………12分

18. 解法一公理化法

（1）當時，取的中點，連接，因為為正三角形，則，由于為的中點時，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當時，過作于,如圖所示，則底面,過作于,連結，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.…………………………………………………8分

(3)設到面的距離為，則,平面,

即為點到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分

解法二向量法

以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當時，點的坐標是

設平面的一個法向量，則即

取，則，

又平面的一個法向量為

又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在點處的切線方程是…………………………………………2分

即，故與表示同一條直線，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

則或，所以函數的單調區(qū)間是，…………………………8分

故或或

或或，或或

實數的取值范圍是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：

由得

，

則都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）設

由于，故切線的方程是：，又由于點在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過定點.………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，

而到直線的距離，當且僅當即時取等號.………………………………………………………………10分

設

由得，則

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由題意知即……1分

…………3分

檢驗知時，結論也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，則有，則，

故，

取（其中表示不超過的最大整數），則當時，. ………………………………………………………14分

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