題目列表(包括答案和解析)
已知函數
其中
為自然對數的底數，
.(Ⅰ)設
，求函數
的最值；（Ⅱ）若對于任意的
，都有
成立，求
的取值范圍.
【解析】第一問中，當
時，
，
．結合表格和導數的知識判定單調性和極值，進而得到最值。
第二問中，∵
，
，
∴原不等式等價于：
,
即
, 亦即
分離參數的思想求解參數的范圍
解：（Ⅰ)當時，，．
當在
上變化時，
，
的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
－ |
|
＋ |
|
|
|
|
|
|
|
1／e |
∴
時，
，
．
(Ⅱ)∵，，
∴原不等式等價于：
,
即, 亦即．
∴對于任意的
，原不等式恒成立,等價于對
恒成立,
∵對于任意的時, 
（當且僅當
時取等號）．
∴只需
，即
，解之得
或
.
因此，的取值范圍是
已知函數
其中e為自然對數的底數，
a，b，c為常數，若函數
且
（1）求實數b，c的值；
（2）若函數
在區間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍。
已知函數
, 其中
且
（Ⅰ）討論函數
的單調性；
（Ⅱ）設函數
（e是自然對數的底數），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是減函數？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.
已知函數
其中a<0,且a≠-1．
（Ⅰ）討論函數
的單調性；
（Ⅱ）設函數
（e是自然對數的底數），是否存在a，使
在[a,-a]上為減函數？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
已知函數
(其中e為自然對數的底數，且e≈2.718)，若f(6－a2)＞f(a)，則實數a的取值范圍是________．
一、
二、11.210 12. 
13.2 14.
15. 
或
或
三．解答題：
16. 解：（1）
……………………………………………………………3分
由題意得周期
，故
…………………………………………4分
又圖象過點
，所以
即
，而
，所以
∴
……………………………………………………6分
（2）當
時，
∴當
時，即
時，
是減函數
當
時，即
時，是增函數
∴函數的單調減區間是
，單調增區間是
………………12分
17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件
、
、
，則
，且有
，即
∴
……………………………………………………………………6分
（2）由（1）
,
.
則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：
……………………12分
18. 解法一 公理化法
（1）當
時，取
的中點
，連接
，因為
為正三角形，則
，由于
為
的中點時，
∵
平面
,∴
平面,∴
.………………………………………………4分
（2）當
時，過作
于
,如圖所示，則
底面
,過作
于
,連結
，則
,
為二面角
的平面角，
又
,
又
，
,即二面角的大小為
.…………………………………………………8分
(3)設
到面
的距離為
，則
,
平面
,
即為點到平面的距離，
又
，
即
解得
，
即到平面的距離為
.…………………………………………………………………………12分
解法二 向量法
以為原點，為
軸，過點與垂直的直線為
軸，
為
軸，建立空間直角坐標系
，如圖所示，
設
，則
（1）由得
，
則
，
，
………………………………4分
（2）當時，點的坐標是
設平面的一個法向量
，則
即
取
，則
，
又平面的一個法向量為
又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分
（3）設到面的距離為，
則
到平面的距離為.………………………………………………………………………12分
19. 解：(Ⅰ)由于
，
故在點
處的切線方程是
…………………………………………2分
即
，故
與表示同一條直線，
，
即
，
，
.……6分
(Ⅱ) 由于
，
則
或
，所以函數的單調區間是
，…………………………8分
故
或
或
或
或
，
或
或
實數
的取值范圍是
.………………………………………………………12分
20. 解：（Ⅰ）設過
與拋物線
的相切的直線的斜率是，
則該切線的方程為：
由
得
，
則
都是方程
的解，故
………………………………………………4分
（Ⅱ）設
由于
，故切線
的方程是：
，又由于點在上，則
則
，
，同理
則直線
的方程是
，則直線過定點
.………………………………………8分
（Ⅲ）要使
最小，就是使得到直線的距離最小，
而到直線的距離
，當且僅當
即
時取等號.………………………………………………………………10分
設
由
得
，則
.…………13分
21. 解：(Ⅰ)由題意知
即
……1分
…………3分
檢驗知
時，結論也成立
故
.………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ) ①由于
故
………………………………………………9分
②若
，其中
，則有
，則
，
故
，
取
（其中
表示不超過的最大整數），則當
時，. ………………………………………………………14分
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